度量空间n维欧氏空间.ppt

* 第二章 点集简介 §1.度量空间，n维欧氏空间 §2.聚点，内点，界点 §3.开集，闭集，完备集 §4.直线上的开集，闭集， 完备集的构造 引言 第一章叙述了集合的概念及其运算， 那里的集合只提到其中的元素，以及元素的 个数（有限，可数无限，不可数无限等等）， 没有涉及集合各个元素之间的着某种关系， 距离”、“实数之间可以引进四则运算”等。都 是集合内部的一种结构。 所谓空间:是一类具有某种结构的集合。 本章将研究一种特殊的集合--空间中的点集 例如：实直线R构成一维空间、“任意两点间有 是其中的结构。本章着重研究n维欧氏空间。 §1. 度量空间，n维欧氏空间 都有唯一确定的实数 且满足 1 2 称 为x与y的距离 。 结论 条 件 两点间距离定义 设x是任意一个非空集合， 唯一确定的实数d(x,y)与之对应且满足 2（三点不等式） 都有 1（非负性） 称d(x,y)是x,y之间距离。称 (X,d)为度量 空间（或距离空间） 结论 条 件 度量空间定义 X 间，称为(X,d)的子空间。 设X是度量空间，则X中度量d具有对称性 定义： 如果(X,d)是度量空间，Y是X的一个 非空子集，则(Y,d)也构成一个度量空 事实上，在定义1中，令z=x，再由1）有 d(x,y)≤d(x,x)+d(y,x)=d(y,x) 由x,y次序是任意的,知d(y,x) ≤d(x,y) 所以, d(y,x) =d(x,y). 设X是度量空间，则X中度量d具有对称性 已知：(X , d) 是度量空间 , 求证： 由1)可知， 证明： 在三点不等式中,取 有 由于x和y的次序是任意的，同理可证, 即 下面我们举一些度量空间的例子。 欧氏空间 规定距离 例1 对 中任意两点 2 由柯西不等式 得到 证明： 由度量空间定义可知 1 显然成立。 ______ 代入上式 两边开方得 令 =d(x,z)+d(y,z) 所以， 即 是度量空间。 距离的另两种表示法 称为n维欧氏空间.d 称为欧几里得距离。 1 2 邻域及其基本性质 1 邻域定义： 的点的全体，即集合 中所有和定点 之距离小于定数 称为点 的 邻域。 记作 称为邻域的中心， 称为邻域的半径。 其中 2 邻域的基本性质： 显然成立。 （1） 和 存在∪3(p),使得 对于 （2） 取 则 使 证 明： 设 对于 存在 证明： 则U(Q)=U(Q,δ1) （3） 因为Q∈ 取δ1:0δ1δ∈d(P,Q) ∩ U(P) P δ Q Q δ1 使 由 有 取 证毕。 （4） 时， 和 当 存在 证明： 则 P Q P Q δ δ 中几个基本概念 定义： 记为 或 1 收敛 为 中一点列， 设 如果当 时有 则称点列 收敛于 有 邻域语言 使 有 的任意邻域 对于 语言 一个非空点集E的直径定义为 2 点集间距离 定义： 两个非空点集A,B的距离为 3 点集间直径 定义： A B d(A,B) δ(E) E *