矩阵论课件吴晓明.ppt

二、标准正交基 1 标准正交的向量组： 定义： ｛?1，?2，…，?n｝为正交组?(?i，?j ) =0 性质： 2 标准正交基 基｛?1，? 2，…，?n｝是标准正交基 ?(?i，? j)= 标准正交基的优点： 标准正交基的优点： ?度量矩阵是单位矩阵，即A=I ?=(?1?2…? n)X，?=(?1?2…? n) Y， (?，?)=YHX ?= x1?1＋x2?2＋…＋x n ?n，xi=(?，?i) ?和?正交?其坐标 X和Y正交 求标准正交基的步骤： ? Schmidt 正交化 标准化 矩阵方法讨论 正交补”子空间 (i)? 集合的U的正交集： —— U?=｛??Vn(F )： ???U，(?，?)=0 ｝ (ii)? U是Vn(F)的子空间 U ? 是Vn(F)子空间 (iii)???????????? Vn(F)=U ? U ? 。 U的正交补子空间 §1·3 线性变换 一、?????? 线性变换的概念 定义 1.11 (P.19) 要点： （i）T是Vn（F）中的变换： T：Vn（F）?Vn（F）。 (ii) T具有线性性： T（?＋?）=T（?）＋T（?） T（k?）=kT（ ? ） 从一般性的角度给出的定义 例题1 Vn（F）中的相似变换T? ：?是F中的数，???Vn（F），T?（?）=?? 。 特例： ?=1 ， T ?是恒等变换， ?=0 ， T?是零变换。 可以在任何线性空间中 定义相似变换! 例题2?? Fn中的变换 TA：设A ?Fn×n是一个给定的 矩阵，?X?Fn，TA（X）=AX。 例题3???? Pn [X]中的微分变换： 2 线性变换的性质： （i）T(0)=0 （ii） T(－?)=－T(?) （iii）? 3 线性变换的象空间和零空间 设线性变换T：Vn( F )?Vn( F )， 象空间 R(T)=｛?： ???Vn(F)，?=T(?)｝ ? 零空间 N（T）=｛?：??Vn(F ) ，T ( ?) =0 ｝ 定义： T 的秩=dim R（T）； T 的零度=dim N（T） 线性变换保持线性相关性不变！ 例题27 求Fn线性中的变换TA:Y=AX的象空间和零空间。 R（TA）=R（A）；N（TA）=N（A） 4 线性变换的运算 设T1，T2都是空间Vn(F)中的线性变换，常见的用它们构成的新的变换： （i） T1＋T2 ? ???Vn（F）， （T1＋T2）（?）=T1（?）＋T2（?） （ii） T1T2 ? ???Vn（F）， (T1T2)（?）=T1（T2（?）） （iii） kT ? ???Vn（F）， （kT）（?）=k（T（?）） （iv） 若T －1是可逆变换，T－1 ? T－1( ?)= ?当且仅当T(?)=?。 定义 二、 线性变换的矩阵 1 线性变换的矩阵与变换的坐标式 Vn（F）上线性变换的特点分析： 定义变换T ? 确定基中向量的象T（?i）。 定义T（?i）?确定它在基下{?i}的坐标A i 。 定义变换T ?确定矩阵A=[A1，A2，…，An] （i）??? A 为变换矩阵 （ii）? 变换的坐标式：Y=AX （iii）??? 应用意义 例题1 对线性变换 :P4 [X] P4 [X]， 求D在基{1，X，X2，X3}下的变换矩阵。 2 求向量 在变换D下的象。 2 线性变换运算的矩阵对应： 设Vn（F）上的线性变换T1，T2，它们在同一组基下的矩阵：T1?A1；T2?A2 （i） （T1＋T2） ? （A1＋A2） （ii） （T1T2） ? A1A2 （iii） （kT） ? kA （iv） T－1 ? A－1 3 不同基下的变换矩阵 两组基{?1，?2，…,? n }，{?1，?2，…, ? n }， （?1?2…? n）=（?1?2…