离散数学代数版.ppt

6.7.5 正规子群和商群 定义 6.7-8 设〈H , *〉是群〈G , *〉的子群, 对任意元素a∈G, 如果aH=Ha, 则〈H , *〉称为正规子群。 定义中的aH=Ha是指对每一h1∈H, 都存在h2∈H, 使a * h=h2 * a, 并不要求对每一h∈H有a * h=h * a。对正规子群来说, 左陪集和右陪集相等。所以, 可以简称陪集。显然, 所有阿贝尔群的子群都是正规子群; 所有平凡子群都是正规子群。 现在我们来证明正规子群的不同陪集都是G的同余类。设aH和bH是二个陪集, a1是aH中任一元素, b1是bH中任一元素, 现证明a1 * b1全都在H的同一陪集中。设 a1 = a * h1 b1 = b * h2 h1和h2是H中某一元素, 以下的hi也是H中某一元素, 不再声明。 因此, 所有a1 * b1都在陪集(a * b)H中。再者, 容易证明a1、a2∈aH时有a1-1、 a2-1 ∈ a-1H 。因此由正规子群H诱导出的陪集关系是同余关系。 设〈H, *, -1, e〉是群A=〈G, *, -1, e〉的正规子群。H的陪集关系记为~。 则根据商代数的定义6.5-1 A/~ = 〈G/~,  , -1, H〉 这里, G/~ = {aH|a∈G} aH bH = (a*b)H ［aH］-1 = a-1H 为了表明~是H的陪集关系, 习惯记为 A/H = 〈G/H, 〉 称为群〈G , *〉关于正规子群〈H , *〉的商群。 * * * 商群的阶数等于群〈G , *〉的阶数除以〈H, *〉的阶数。 根据商代数的性质, 商群也是一个群。 例如, 在例6(b)中, 〈S3, ◇〉关于正规子群〈{p1, p5, p6}, ◇〉的商群是〈{{p1, p5, p6}, {p2, p3, p4}}, 〉, 的运算表如下表所示。 * * 定理 6.7-21 设h是从群〈G, *〉到群〈G′, *′〉的同态, 那么 (1) h诱导的G上的等价关系是群〈G , *〉的同余关系。 (2) h的核K是〈G , *〉的正规子群。 (3) K的陪集就是上述同余关系的同余类。 证  (1) 应用定理6.4-2可直接得出。 每个元素的逆元是唯一的。 所以可看成是一种一元运算, 故一个群的构成成分可看成是〈G, *, -1, e〉, 这里-1是求逆运算。但通常为了简便仍记为〈G, *〉。 如果G是有限集合, 则称〈G, *〉是有限群; 如果G是无限集合, 则称〈G, *〉是无限群。有限群G的基数|G|称为群的阶数。 群中的运算 * 一般称为乘法。 如果 * 是一个可交换运算, 那么群〈G , * 〉就称为可交换群, 或称阿贝尔群。在可交换群中, 若运算符*改用+, 则称为加法群, 此时逆元a-1写成-a。 例 1 代数〈Q+, ·, 1〉是一个阿贝尔群, 这里·表示乘法, -1表示一个有理数的倒数运算。 定理 6.7-1 如果〈G , *〉是一个群, 则对于任何a、b∈G, (a) 存在一个唯一的元素x, 使得a * x=b。 (b) 存在一个唯一的元素y, 使得y * a=b。 证 (a) 至少有一个x满足a * x=b, 即x=a-1 * b, 因为 a * (a-1 * b)=(a * a-1) * b= e * b=b 如果x是G中满足a * x=b的任意元素, 则 x=e * x=(a-1 * a) * x = a-1 * (a * x) = a-1 * b 所以, x=a-1 * b是满足a * x=b的唯一元素。 定理 6.7-2 如果〈G, *〉是一个群, 则对于任何a、b、c∈G, 证 因为群的每一元素都有逆元, 根据定理6.1-4, 本定理显然成立。 定理 6.7-3 么元是群中唯一等幂元素。 证 如果x是等幂元素, 则 证毕。 定理 6.7-5 如果, 〈G , *〉是一个群, 则对于任何a、b∈G, (a * b)-1 = b-1 * a-1 证 由于(a * b) * (a * b)-1= e和 (a * b) * (b-1 * a-1 )