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第三讲 随机变量的数字特征 －－以统计的眼光看问题 随机变量的数字特征 相关系数的引入 在实际中，描述X 和Y 的相互关系最简单的方法 线性回归法 a，b参数的确定 不相关、独立和正交的关系： 独立 互不相关 一定 不能得出 正交 不存在必然关系 由计算推出关系 例 1.27 1.5.5 随机变量的特征函数 一、特征函数定义 二、特征函数的性质 1. 有界性： ︱QX (u)︱≤ QX (0)=1 2、连续性： 特征函数QX(u)是实变量 u 在 上的连续函数。 3、特征函数是实变量 u 的复值函数 证明： 5、相互独立的随机变量 的和 的特征 函数 等于各个变量特征函数的乘积 4、函数的特征函数 当X的特征函数QX(u)已知时，函数Y=aX+b的特征函数QY(u) 独立随机变量乘积的期望＝期望的乘积 特征函数性质 6 (1) 若X的n阶绝对矩存在，则它的特征函数QX(u)有n阶导数存在 (2) 且当1≤k≤n时，有 证明（1）： X的n阶绝对矩存在指 特征函数性质 7 例1.30 求高斯变量的特征函数 = 复变函数积分的应用公式 例1.31 求二项分布的特征函数、期望、方差。 二项分布Y 代表 n 重贝努利试验 ( n 次重复的 独立试验)中某随机事件A发生的次数。 设： p － 每次试验中A事件发生的概率。 q=(1-p)－ 每次试验中A事件不发生的概率。 * 主讲教师：杨金锋 中国民航大学 第一章 概率论 你们喜欢那个图？ 1 数学期望 矩 相关理论 特征函数 一维随机变量 二维随机变量 n维随机变量 随机矢量的函数 条件数学期望 随机变量关于某个给定值的条件数学期望 随机变量关于另一个随机变量的条件数学期望 离散型 连续型 数学期望的性质 2 3 新 §1.5 随机变量的数字特征 1.5.1 随机变量及其函数的数学期望 一、一维随机变量的数学期望 例1.22 随机变量X在区间(a,b)上均匀分布，求 的数学期望。 解：由于X 服从均匀分布，概率密度为 无论g(·)是单值还是多值变换，函数g(X)的期望为： 函数的期望 三、二维随机变量及其函数的数学期望 1、二维随机变量的数学期望 设二维随机变量(X1, X2)的联合概率密度 已知，其二维概率质量分布的“重心坐标”应该为 2、二维随机变量函数 的数学期望 当(X,Y)是离散随机变量时，函数 的期望为 例1.23 设 n 维随机变量 X1, …, Xn 的函数 其中权重 ai 是常数。求函数的期望 即，随机变量和的期望＝随机变量期望的和 例1.24 设 n 维随机变量X1, …, Xn的函数 其中n个变量独立。求函数的期望 即，独立随机变量积的期望＝独立随机变量期望的积 六、数学期望的基本性质 (1) 若a ≤ X≤b, (a,b为常数),则a ≤E[X] ≤b (2) 常数C的期望 E[C]=C (3) (ai，b 为任意常数) (4) 若X1, X2,…, Xn相互独立，则 (5) 若X与Y互不相关，则 1.5.2 条件数学期望 设(X,Y)是定义在同一概率空间上的二维连续型随机变量。 若已知Y关于X的条件概率密度 ，则由期望的定义可得Y关于X的条件期望。 一、随机变量关于某给定值的条件期望 同理有： 二、一个随机变量关于另一个随机变量的条件期望 例1.25 已知随机变量X服从(0,1)的均匀分布，随机变量Y服从 (X, 1)上的均匀分布。求：条件期望 ① ，② 解：①根据已知条件，在给定条件 下，随机变量Y的条件概率密度 由上可以看出， 是关于给定值 的函数。 条件期望 ②用随机变量X 替换给定值 ，则条件期望 是随机变量X的函数，也是个随机变量