空间解析几何简介多元函数的基本概念.ppt

第六章 多元函数微积分 §6.1 空间解析几何简介 6.1.1 空间直角坐标系 * * 多元函数的概念 二元函数的极限与连续 偏导数与全微分 偏导数的计算 二元函数的极值 二重积分 x 轴 (横轴), y 轴 (纵轴), z 轴 (竖轴). 坐标面: 坐标原点 ：O 坐标轴: 三个坐标面把空间分隔成八个部分, 每个部分称为卦限. 依次叫做第一至第八卦限. xoy 平面; yoz 平面; zox 平面. 空间直角坐标系 右手系 单位长度 点P, Q, R为点 M 在坐标轴上的投影, 设 M 为空间内一点， 称为点 M 的坐标. 点 M 记为 坐标面和坐标轴上的点 , 其坐标各有一定的特征 x 轴上的点, 其坐标为: y 轴上的点, 其坐标为: z 轴上的点, 其坐标为: 面内的点为： 面内的点为： 面内的点为： 原点坐标： 6.1.2 空间两点间的距离 设 因为 即 为等腰三角形. 求证以 三点为顶点的三角形是一等腰三角形. 例1 解 例2 求点 M (4,-3,5) 到各坐标轴的距离. 解 -3 5 M 4 6.1.3 曲面与方程 曲面方程的概念 定义6.1.1 则方程(1)叫做曲面S的方程,而曲面S叫做方程(1)的图形. 若曲面 S 与三元方程 有下述关系： (1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程(1); (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1). 解 由定义4.1知: 显然 xo y 平面上的点都满足方程 z = 0, 例1. 求三个坐标平面方程. 而满足方程 z = 0的点都在 xo y 平面上. x oy 平面方程是 z = 0. 同理 ： yo z 平面方程是 x = 0. z ox 平面方程是 y = 0. 可以证明 ： 空间任意一个平面的方程为三元一次方程 其中 A, B, C, D 为常数，且 A, B, C 不全为零. 例2 建立球心在点 半径为 R 的球面的方程 解 设 M (x,y,z) 是球面上的任一点， 如果球心在原点，则 通过配方，原方程可写为: 表示球心在点 解 表示怎样的曲面? 例3 半径 的球面. 柱面 这曲面可以看作是由平行于z 轴的直线 l 例4 表示怎样的曲面? 方程 解 表示一圆. 在xoy平面上 在三维空间中, 且平行于 z 轴的直线 l 都在这曲面上, 这曲面叫做圆柱面. 这平行于z 轴的直线 l 叫做它的母线. 上一点 M (x , y , o) 凡是通过 xoy 面内圆 沿xoy面上的圆 移动而成. xoy 面上的圆 叫做它的准线, 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线l 形成的轨迹叫做柱面， 只含有x,y 的方程F(x,y)=0, 表示母线平行于z轴的柱面； 如： 方程 表示抛物柱面； 方程 表示双曲柱面. 方程 表示双曲抛物面，又称鞍面. 曲线C叫做柱面的准线， 定 动直线l 叫做柱面的母线. x y z 0 例5 方程 表示何种曲面?并作图. 解 用平面 截曲面 截痕是 当 时， 只有点O(0,0,0)满足方程. 当 时， 截痕是以点 为圆心， 以 为半径的圆. 当 时， 截面与曲面无交点. 用平面 截曲面, 截痕是抛物线. 曲面：zox 面上的抛物线 绕 z 轴旋转所得旋转曲面. 旋转抛物面 6.2.1 邻域与平面区域 1.邻域: 设 为 xoy 面上一定点, 即 称为点 的 邻域. 称为点 的 去心邻域. §6.2 多元函数的基本概念 2.平面区域 设E是平面上一个点集, P 是平面上一点, 若存在 称点P为点集E的内点. 若点集E的点都是内点, 则称点集E为开集. 若点 P 的任一邻域内既有属于 E 的点,也有不属于 E 的点, 称P为E的 边界点. 边界点的全体称为 E 的边界. E P P E 若对D内任意两点 则称 D 是连通的. 连通的开集称为区域或开区域.. 开区域连同它的边界一起,称为闭区域. 设D是开集, 都可用包含于 D 内的折线连结起来, 例如 开集： 边界： 区域 例如： :闭区域 x y 3 1 E D 例如, 无界的开区域 有界的闭区域 (3) 维空间： 设 为取定的一个自然数， 称 元有序数组 的全体 为 维空间． 为 维空间中的一个点． 数 称为 该点的第 个坐标． 维空间记为: 对点集E，若存在正数M, 使对E中任意两点 P、Q, 都有 ，则称E为有界点集， 否则称为无界点集。 x y o x y 2 1 D 一维空间: 二维空间: 三维空间: 6.2.2 二元函数的概念 引例１．圆柱体的体积: 引例２．长方体的体积: 设Ｄ是平面上一点集， 变量 z 按 照对应法则 f 总有唯一确定的值 z 与之对应， 则称 z 是变量 的二元函数． 记为: