向量代数与空间解析几何基本概念.ppt

§1　向量及其运算;考虑 xy 平面上的向量，几何上该向量可表示为 xy 平面上一有向线段。;若将其平移，始点移至原点 O，而其终点对应于平面上一个点 P(x, y).;平面向量 ?? 平面上点 ?? 二元有序数组;定义1;平行四边形法则;定义2;o;设? =(a1, a2,…, an)为 n 维向量，;运算规律:;2. 结合律;6. 数乘结合律;定义4.;例1. 已知一平面向量,;由向量减法定义知.;一、空间直角坐标系;数轴正向不同, 可建立不同的直角坐标系. 如;主要名称与记号: ;2. 卦限: ;3. 空间点在空间直角坐标系中的表示法.;4. 点M 的坐标;5. 三维向量与空间点的一一对应关系.;6. 三维向量加法的几何意义;7. 数乘的几何意义;二、空间两点间的距离;由勾股定理;P;例1. 求在 z 轴上与两点 A(?4, 1, 7)和 B(3, 5, ?2)等距的点.;三. 向量的数量积、向量间的夹角;由Schwarz 不等式, 知;定义1.;下面分析cos(?, ? )的几何含义.;由余弦定理, 知;若? //?, 则? = ?? 或 ? = ??.;? 0;?;例2.;例3. 求空间任意点? = (x, y, z)与三个坐标轴之间的夹角.;如果 ? 是单位的, 即||? ||=1, 则;例4. 设两点M1(2, 2, ), M2(1, 3, 0). 求向量M1M2 的方向余弦及与M1M2 反方向的单位向量.;与 M1M2 反方向的向量为;向量在轴上的投影;M1;性质：;例5. 设 M(2, 1, 0), ? =(1, 1, 0)求 OM 在? 上的投影;在前面介绍的向量加法与减法时我们知道，两向量之和或差仍然是一个向量，但在介绍向量的数量积时却发现，? ?? 不再是一个向量而是一个数了，因此，我们仍希望引入向量的某种“积”运算，使之结果仍为一个向量，构造的准则之一: 有实际应用.;?;向量积的性质;必要性: 设a 、b 平行, 则 ? = 0或 ? = ?. 于是;例如: ;2、向量积的坐标表示式;得公式:;求垂直于向量 a = (2, 2, 1)和b = (4, 5, 3)的向量c.;已知?ABC的顶点分别是A(1, 2, 3), B(3, 4, 5), C(2, 4, 7), 求?ABC的面积.;三、两向量的混和积;则有;混合积性质：;事实上， 若? , ? , ? 在同一个平面上， 则? ? ? 垂直于它们所在的平面， 故? ? ? 垂直于 ? , 即;　　混合积(? ? ? ) ? ? 的绝对值等于以 ? , ? , ? 为棱的平行六面体的体积 V 的数值。;例5:;所以，