最全初中数学几何动点问题专题分类归纳汇总.pdf

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最全初中数学几何动点问题专题分类归纳汇总 近几年有关“线段最值”的中考试题层出不穷,形式多样,往往综合了几何变 换、函数等方面的知识,具有一定的难度,具有很强的探索性,通过研究发现, 这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断,但都可以通过几何变换转化为常 见的基本问题. 最值题目类型多:作图、计算;有求差最大,求和最小;求周长最小、求时间最 短;求最值、已知最值求待定系数等; 对称载体多:几乎涉及到初中全部的轴 对称图形(角、线段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、抛物线、圆、坐 标轴). 我们知道“对称、平移、旋转” 是三种保形变换。通过这三种几何变换可以实现 图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化,具有更紧凑的位置关 系或组合成新的有利论证的基本图形.通过几何变换移动线段的位置是解决最值 问题的有效手段,题目是千变万化的,但是运用几何变换把最值问题转化为基本 问题却是不变的。 数学问题是千变万化的,几何变换的应用也不是单一的,有些问题需要多种变换 的组合才能解决,看看以下策略对解决问题能否奏效。 (1)去伪存真。刨去不变的线段,看清楚究竟是几段和的最小值问题,必须仔 细研究题目的背景,搞清楚哪些是动点、哪些是定点、哪些是定长。 (2 )科学选择。捕捉题目的信号,探索变换的基础,选择变换的手段.平移把 不“连”的线段“接”起来,旋转把“碰头”的线段“展”开来重“接”,对称把在同侧的 线段翻折过去重组,因此“不连——平移、碰头——旋转、同侧——对称”是一般 的思路;对称变换的基础是轴对称图形,平移变换的基础是平行线,旋转变换的 基础是等线段,所以选择哪种几何变换还要看题目中具备何种变换的基础信息。 (3)怎么变换?对称变换一般以动点所在直线为对称轴,构建定点(直线)的 对称点(直线),如有多个动点就必须作多次变换;平移一般是移动没有公共端 点的两条线段中的某一条,与另一条对“接” ;旋转变换一般以定点为旋转中心旋 转 60°或 90°。 (4 )怎么求值?几何变换成了“两折线”或“三折线”后,根据“两点之间线段最短” 或“垂线段最短”把“折线”转“直”,找出最短位置,求出最小值。 目录 一、一条线段最值 1 1 单动点型1 1.1 动点运动轨迹——直线型1 1.2 动点运动轨迹—— 圆或圆弧型10 1.2.1 定点定长10 1.2.2 定弦定角15 1.3 动点轨迹为其他曲线,构造三角形24 2 双动点型 27 2.1 利用等量代换实现转化 27 2.2 利用和差关系实现转化 28 2.3 利用勾股定理实现转化28 2.4 利用三角形边角关系实现转化29 二、两条线段最值 30 1 PA+PB 型30 1.1 两定一动(将军饮马)30 1.2 两定两动39 过河拆桥39 四边形周长最小; 42 1.3 一定两动44 两动点不随动 44 1.4 三动点47 2 PA+K·PB 型48 2.1 “ 胡不归模型” 48 2.2 阿氏圆65 三、“ 费马点”模型72 线段极值解题方略76 一、一条线段最值 1 单动点型 所谓的单动点型指:所求线段两端点中只有一个动点的最值问题.通常解决这类问题的思考 步骤为三步: (一)分析“源动点”的不变量。 (二)分析“从动点”与“源动点”问关系。 (三)分析“从动点”的不变量。 1.1 动点运动轨迹——直线型 动点轨迹为一条直线,利用“垂线段最短” ABC CAB 30 例 1、如图 1,在 中, ,BC=1,D 为 AB 上一动点 (不与点 A 重合), AED  为等边三角形,过 D 点作 DE 的垂线,F 为垂线上任一点,G 为 EF 的中点,则线段CG 长的最 小值是_________。 方法指导:1.当动点的运动轨迹是一条直线(射线、线段)时,可运用“垂线段最短”性质 求线段最值.2.有时动点轨迹不容易确定,如例 1,建议看到“中点”联想“三角形的中 位线及直角三角形斜边上的中线”等性质.3.试着观察“动点运动到一些特殊位置时,该 动点与其他定点连结的线段是否与已知边有一‘

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