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导数、数列、不等式 第 PAGE 6 页 共 NUMPAGES 6 页 导数、数列、不等式 第 PAGE 6 页 共 NUMPAGES 6 页 导数、数列、不等式 导数与数列型不等式的交汇问题，体现了导数的工具性，凸显了知识之间的纵横联系，一些题构思精巧、新颖，加强对能力的考察，逐渐成为高考的新亮点. 1.已知函数（，为自然对数的底数）. （1）求函数的最小值； （2）若对任意的恒成立，求实数的值； （3）在（2）的条件下，证明：. 解析：（1）略；（2），由（1）设，； （3）由（2）知，因为，所以对任意，均有，即，令 ，，则，所以，. 于是， 2.已知函数，， （1）求函数的单调区间； （2）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：. 解析：（1）函数的单调增区间为，单调减区间为. （2），，. 令，， 令，解得；当变化时，，变化情况如下表： 增 减 故，则. （3）由（2）知，，（两边同时乘以） 3.已知函数. 若函数在上为增函数，求实数的取值范围； 当且时，证明：. 解析：（1）实数的取值范围为. 由（1）知，令，则在上为增函数，， 即，当且仅当时取等号. 要证明，只需证 . 在中取，有，则；在中取，易知，则. 综上可知成立，则原命题成立. 4.已知函数 （1）求函数的极值点； （2）若恒成立，试确定实数的取值范围. （3）证明：. 解析：（1）函数的定义域为，.①当时， 在上单调递增，无极值；②当时，，， 当变化时，，变化情况如下表： 增 减 函数在处取得极大值，为极大值点. （2）由（1）知，时，，不恒成立，故只需. 当时，，. （3）由（2）知，当时，，（），， ，所以，，. . 引申：（4）证明：①当时，；②. 当时，,，所以. （5），令，. 5.已知函数（），的图象在点处的切线方程为. （1）用表示； （2）若在上恒成立，求的取值范围； （3）证明：. 解析：（1），；（2）由（1）知，，令，（关键信息）. .， ①当时，，若，则，单调递减，所以，即，在上不恒成立； ②当时，，若，，单调递增，所以. 即，故当时，在上恒成立. 综上所述，所求的取值范围为. （3）由（2）知，当时，，且，令，有 ，且当时，.令，有 ，即，. 将上述个式子相加，得. 6.已知，的图像在点处的切线与直线平行. （1）求满足的关系式； （2）若在上恒成立，求的取值范围； （3）证明：. 解析：（1）； （2）由（1）知，，令， ，（关键信息）. ①当时，，若，则，单调递减，所以，即，在上不恒成立； ②当时，，若，，单调递增，所以. 即，故当时，在上恒成立. 综上所述，所求的取值范围为. （3）由（2）知，当时，，且，令，有， 且当时，.令，有， ，所以，，即：，. 将上述个式子相加，得. 7.设函数. （1）当时，只有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与1的大小； （3）证明：.（） 解析：（1）或； （2）①当时，，即；②当时，，即；③当时，，即. （3）由（2）的结论，当时，，即．令，则有，,将上述个式子相加， 得. 8.设函数，，，其中是的导函数. （1），求的表达式； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）设，比较与的大小，并加以证明. 解析：（1），，，，， ，，，， 假设当时，，则当 时，也成立. 综上，， （2），，，. 令，，易知，则 ，.当时，在上恒成立，在上单调递增，，满足条件； 当时，令，解得，令，解得.于是在上单调递减，在上单调递增，，与题设矛盾， 综上可知. （3），证明如下：要证 ，只需证 .在（2）中取，可得，，令，，则，故有，，…，， 上述各式相加可得.