高等数学课件函数.ppt

第一章 §1.1 1.1.1 实数与实数集合 表示法： 集合之间的关系及运算 定义 3 . 给定两个集合 A, B, 半开区间 1.1.2、函数及其图象 例1.1.1. 求函数 例1.1.4. 已知函数 三. 函数的几种特性 3 奇偶性 又如, 4 周期性 1.1.3. 反函数与复合函数 二 复合函数 三. 初等函数 内容小结 作 业 则 设有函数链 称为由①, ②确定的复合函数 , ① ② u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 不可少. 例如, 函数链 : 函数 但函数链 不能构成复合函数 . 可定义复合 (1) 基本初等函数 幂函数： 指数函数： 对数函数： 三角函数： 反三角函数： (2) 初等函数 由常数及基本初等函数 否则称为非初等函数 . 并可用一个式子表示的函数 , 经过有限次四则运算和复合步 骤所构成 , 称为初等函数 . 例如 ： 都为初等函数 . 1. 集合的概念、关系及运算 定义域 对应规律 3. 函数的特性 有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性 4. 初等函数的结构 2. 函数的定义及函数的二要素 P18 1 (3); 3(1); 5；6（3）; 10 * * 分析基础 函数 极限 连续 — 研究对象 — 研究方法 — 研究桥梁 函数、极限与连续 第一章 1.1.2 函数及其图形 1.1.1 实数与实数集合 函数 1.1.3 反函数、复合函数与初等函数 一. 几类常用数集 元素 a 属于集合 M , 记作 元素 a 不属于集合 M , 记作 定义 具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 ? . ( 或 ) . 注: M 为数集 表示 M 中排除 0 的集合 ; 表示 M 中排除 0 与负数的集合 . (1) 列举法： 按某种方式列出集合中的全体元素 . 例: 有限集合 自然数集 (2) 描述法： x 所具有的特征 整数集合 例：有理数集 p 与 q 互质 实数集合 x 为有理数或无理数 开区间 闭区间 是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 定义2 . 则称 A 若 且 则称 A 与 B 相等, 例如 , 显然有下列关系 : , , ? 若 设有集合 记作 记作 必有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 . 并集 交集 且 差集 且 定义下列运算: 余集 机动 目录 上页 下页 返回 结束 或 无限区间 点 a 的 ? 邻域 其中, a 称为邻域中心 , ? 称为邻域半径 . 去心 ? 邻域 左 ? 邻域 : 右 ? 邻域 : 二. 区间与邻域 一. 函数的概念 定义域 定义1.1.1. 设非空数集 按照一定法则 f 变量 y 有确定的值和它对应 , 则称 y 是 x 的函数 , 记为 f ( D ) 称为值域 自变量 因变量 (对应规则) (值域) (定义域) 定义域 对应规律的表示方法: 解析法 、图象法 、列表法 使表达式及实际问题都有意义的自变量 集合. 例如, 绝对值函数 定义域 值 域 解: 的定义域. 要使该函数有意义，必须 即 故该函数的定义域为 二 函数的图象 例1.1.2 符号函数 当 x 0 当 x = 0 当 x 0 该函数的定义域为 值域为 例1.1.3 取整函数：取不超过x的最大整数， x为任意实数。 当 该函数的定义域为 值域为 分段函数 函数在其定义域的不同范围内，具有不同的解析表达式 求 及 解: 函数无定义 并写出定义域及值域 . 定义域 值 域 设函数 且有区间 1 有界性 有 称 (说明: 还可定义有上界、有下界、无界) 是在 I 上的 有界函数. 有 称 是在 I 上的有上界. 有 称 是在 I 上的有下界. 用函数图象表示为 O x y M M I 无界函数图象举例 函数 在区间 内无界。 函数 在区间 内无界。 2 单调性 时, 称 为 I 上的 称 为 I 上的 单调增函数 ; 单调减函数 . 例1.1.5 证明 内的单调性。 试证函数 在区间 且 则 所以 故该函数在指定区间内是单调增加的。 且有 若 则称 f (x) 为偶函数; 若 则称 f (x) 为奇函数. 例如, 偶函数 双曲余弦 记 奇函数 双曲正弦 记 再如, 奇函数 双曲正切 记 例1.1.6 判断该函数 是奇函数还是偶函数. 证明 则 所以,该函数是非奇非偶函数. （P16，习题7 的结论） 且 则称 为周期函数 , 若