高等代数正定二次型.ppt

四、小结 1、正定（负定、半正定、半负定、不定）二 次型； 三、n元实二次型的分类 设n元二次型 若对任意一组不全为零的实数 都有 ②　 ，则 称为半正定二次型. ③　 ，则 称为半负定二次型. ① 则 称为负定二次型. 　既不是半正定，也不是半负定，则 称为 1．定义 不定二次型. 注： ①正定矩阵　　 ②负定矩阵　　 ③半正定矩阵 ④半负定矩阵 　 ⑤不定矩阵　 相应于二次型的分类，n 级实对称矩阵可分类为： 1）实二次型 正定 负定； 实对称矩阵A正定 －A负定. 半负定； 2）实二次型 半正定 实对称矩阵A半正定 －A半负定. 2、判定 3） 定 理 7 ① 　　　　　　 半正定 ； ( 或 A半正定； ) ② 秩 = 秩(A) = （正惯性指数）； ③ A合同于非负对角阵，即存在可逆阵C，使 则下列有条件等价： ④ 存在 ，使 ⑤ A的所有主子式皆大于或等于零.（补充题9） 由此可得， A半正定 （习题14） 设n元实二次型 基本概念 2、顺序主子式、主子式 正定（负定、半正定、半负定、不定）矩阵； 基本结论 1、非退化线性替换保持实二次型的正定（负定、 半正定、半负定、不定）性不变. * * * * 一、正定二次型 二、正定矩阵 三、n元实二次型的分类 §5.4 正定二次型 四、小结 、正定二次型 则称f 为正定二次型. 如，二次型　 是正定的； 不是正定的． 但二次型　 一组不全为零的实数 都有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1、定义：实二次型 若对任意 2、正定性的判定 1）实二次型 正定 2）设实二次型 f 正定 证：充分性显然. 下证必要性，若 f 正定，取 则 经过非退化线性替换 X＝CY 化成 则， 3）非退化线性替换不改变二次型的正定性. 任取一组不全为零的数 令 证明：设正定二次型 所以，非退化线性替换不改变二次型的正定性. 又由于C可逆， ，所以 同理，若 正定，则 正定. 反之，实二次型 可经过非退化 不全为0. 即 线性替换 变到实二次型 秩 ＝n＝ （ 的正惯性指数）. 4）(定理5) n元实二次型 正定 证：设 经非退化线性替换 变成标准形 由2), 正定 即， 的正惯性指数p＝n＝秩 . 规范形为 5）正定二次型　　　　　　 　的标准形为 二、正定矩阵 1、定义 设A为实对称矩阵，若二次型 正定二次型的规范形为 是正定的，则称A为正定矩阵. 2、正定矩阵的判定 2) 实对称矩阵A正定 1）实对称矩阵A正定 ?? A与单位矩阵E合同. A与E合同,即存在可逆矩阵C，使 可见，正定矩阵是可逆矩阵. 存在可逆矩阵C，使 3）实对称矩阵A正定 A与任一正对角矩阵合同. 即，D与E合同. 为任一正对角矩阵，则 若 例1、设 A 为 n 阶正定矩阵，证明 （5）若　B　亦是正定矩阵，则　A＋B　也是正定矩阵； （2）　　　　是正定矩阵； （1） 是正定矩阵； （3）　是正定矩阵； （4） 是正定矩阵（m为任意整数）； 证： （1）由于　A　正定，则存在可逆矩阵　P，使 于是有， 　故， 正定. （2）由于A　正定，对　　　　　　　 都有 因此有 令 故，　正定. 即， 与单位矩阵E合同. 则Q可逆，且 ，由（1）（2）即得　 正定. （3）A正定，则存在可逆矩阵C，使 ，于是 当 m＝2k　时， 即，　与单位矩阵E合同，所以　 正定. （4）由于　A　正定，知 　为 n 阶可逆对称矩阵　， （5）由于A、B正定，对　　　　　　　 都有 因此有 故，A＋B 正定. 当 m＝2k＋1　时， 即，　与正定矩阵A合同，而　A与单位矩阵E合同， 所以　 与E合同，即　 正定. 3、正定矩阵的必要条件 1）实对称矩阵 正定 取 正定. 证：若A正定 ，则二次型 则 反之不然. 即，　　 　为对称矩阵，且 但A未必正定.　如 所以A不是正定的.　　　　　　　 注意 当　　　　　时，有　　　　　　　　 2) 实对称矩阵A正定 但 不是正定二次型. 如 注意 证：若A正定，则存在可逆矩阵C ，使　　　　　　　 从而 反之不然. 即实对称矩阵A，且 A未必正定.　 4、顺序主子式、