高等代数对称矩阵的标准形.ppt

* §9.6 对称矩阵的标准形 * 　　§9.6 对称矩阵的标准形 一、实对称矩阵的一些性质 二、对称变换 三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵 四、实二次型的主轴问题 一、实对称矩阵的一些性质 引理1 设A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数． 证：设 是A的任意一个特征值，则有非零向量 满足 其中 为 的共轭复数， 令 又由A实对称，有 由于　是非零复向量，必有 故 考察等式， 引理2 设A是实对称矩阵，在 n 维欧氏空间　 上 定义一个线性变换　如下： 则对任意　　　　　有 或 证：取 的一组标准正交基， 则　在基　 下的矩阵为A，即 任取　　　　　 即 于是 又 　　　　是标准正交基， 即有 又注意到在 　中 二、对称变换 1．定义 则称　为对称变换． 设　为欧氏空间V中的线性变换，如果满足 1）n维欧氏空间V的对称变换与n级实对称矩阵在 标准正交基下是相互确定的： 2．基本性质 ① 实对称矩阵可确定一个对称变换． 一组标准正交基． 事实上，设 为V的 定义V的线性变换　： 则　即为V的对称变换． ② 对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵． 为V的一组标准正交基， 事实上，设　为n维欧氏空间V上的对称变换， 为　在这组基下的矩阵，即 或 于是 即 所以A为对称矩阵． 由　是对称变换，有 2）（引理3）对称变换的不变子空间的正交补也是 它的不变子空间． 对　　　　 　　　　 任取 即　 　　　 证明：设　是对称变换，W为　的不变子空间． 要证　　 即证　　 由W是　 子空间，有 因此　 故 　 也为　的不变子空间． 1．(引理4)实对称矩阵属于不同特征值的特征向量 分别是属于 的特征向量． 则 三、实对称矩阵的正交相似对角化 是正交的． 正交基下的矩阵， 证：设实对称矩阵A为　 上对称变换　的在标准 是A的两个不同特征值 ，　　　 由 又 即 正交． (定理7)对 　　　　　　　总有正交矩阵T，使 有 即 ２． 证：设A为　 上对称变换　在标准正交基下的矩阵．　 由实对称矩阵和对称变换互相确定的关系，只需证 　有n个特征向量作成的标准正交基即可． n=1时，结论是显然的． 对　 的维数n用归纳法． 有一单位特征向量 ，其相应的特征值为 ，即 假设n－1时结论成立，对 设其上的对称变换 设子空间 显然W是　 子空间， 则 也是 子空间，且 又对　　　　　　　有 所以　　是 　上的对称变换． 由归纳假设知 有n－1 个特征向量 构成 的一组标准正交基． 从而　　　　　　　就是　 的一组标准正交基， 又都是 的特征向量． 即结论成立． 3．实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤 设 (i) 求出A的所有不同的特征值： 其重数 必满足 ; (ii) 对每个 ，解齐次线性方程组 求出它的一个基础解系： 它是A的属于特征值 的特征子空间 　 的一组基． 正交基 把它们按 正交化过程化成 　的一组标准 (iii) 因为 互不相同， 且 就是V的一组 标准正交基． 所以 则T是正交矩阵，且 将 的分量依次作 矩阵T的第1，2，…，n列， 使 　　　　　　为对角形． 例1．设 求一正交矩阵T使 成对角形． 解：先求A的特征值． A的特征值为 （三重）, 其次求属于 的特征向量，即求解方程组 得其基础解 把它正交化，得 再单位化，得 这是特征值 　 (三重)的三个单位正交特征向量， 也即是特征子空间　 的一组标准正交基． 再求属于　　　 的特征向量，即解方程组 得其基础解 再单位化得 这样 　　　　　构成 　 的一组标准正交基，它们 都是A的特征向量，正交矩阵