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立体几何中的常见模型化方法 建构几何模型的两个角度：一是待研究的几何体可与 特殊几何体建立关联， 二是数量关系有明显特征的几何背景 . 例题 一个多面体的三视图如图 1 所示，则该多面体的 体积是 A. 23/3 B. 47/6 C.6 D.7 分析该几何体的三视图为 3 个正方形，所以可建构正方 体模型辅助解答 . 解 图 2 为一个棱长为 2 的正方体 . 由三视图可知，该几何体是正方体截去两个小三棱锥后 余下的部分，其体积 V=8-2 ×1/3 ×1/2 ×1×1×1=23/3 选 A. 解后反思 大部分几何体可通过对正方体或长方体分割 得到，所以将三视图问题放在正方体或长方体模型中研究， 能够快速得到直观图，并且线面的位置关系、线段的数量关 系明显，计算简便 . 变式 1 已知正三棱锥 P-A BC ，点 P，A ，B ，C 都在半 径为的球面上，若 PA，PB，PC 两两互相垂直，则球心到截 面 ABC 的距离为 ____ 分析 由于在正三凌锥 P-ABC 中， PA，PB，PC 两两互 相垂直，所以可以将该正三棱锥看作正方体的一部分，构造 正方体模型 . 解 构造如图 3 所示的正方体 . 此正方体外接于球，正方体的体对角线为球的直径 EP， 球心为正方体对角线的中点 O ，且 EP⊥平面 ABC ，EP 与平 面 ABC 相交于点 F.由于 FP 为正方体体对角线长度的 1/3， 所以 又 OP 为球的半径， 所以 OP=.故球心 O 到截面 ABC 的 距离 解后反思从正方体的 8 个顶点之中选取不共面的点，可 构造出多种几何体， 这些几何体可以分享正方体的结构特征 . 变式 2-个四面体的所有棱长都为， 四个顶点在同一球面 上，则此球的表面积为 A.3 π B.4 π C.3 π D.6 π 分析将一个正方体切掉四个大的“角” ，就可得到一个 正四面体 . 解 如图 4 所示，构造一个棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 ，连接 AB1 ，AD1 ，AC ，CD1 ，CB1 ，B1D1 ，?t 四面体 B1-ACD1 为符合题意的四面体，它的外接球的直径 AC1= ，所以此正方体外接球的表面积 S=4 πR2=3 π.选 A. 解后反思 正四面体的体积也可通过这种切割的方法求 得 .由图形分析可知， 正四面体的体积是它的外接正方体体积 的}. 若正四面体的棱长为 a，则其体积为 变式 3 四面体 A-BCD 中，共顶点 A 的三条棱两两互相 垂直，且其长分别为 1，2 ，3.若四面体 A-BCD 的四个顶点 同在一个球面上，则这个球的表面积为 ____.