第二章 2.1、2.2矩阵定义和运算(唐忠明版).ppt

§2.2 矩阵的代数运算 第二章 矩阵 (AB)k = AkBk ③ 要说明即使 A与B是同阶方阵, 也未必成立, 只要举出一个反例即可. 例如A = 1 1 0 0 , B = 1 0 1 0 , AB = 2 0 0 0 , A2 = 1 1 0 0 = A, B2 = 1 0 1 0 =B, (AB)2 = 4 0 0 0 , A2B2 = AB = 2 0 0 0 . ? * §2.2 矩阵的代数运算 第二章 矩阵 ② (A ? B)2 = A2 ? AB ? BA + B2 注: ① (A + B)2 = (A + B)(A + B) = A2 + AB + BA + B2 ③ (A + B)(A ? B) = A2 ? AB + BA ? B2 ④ AB = BA ? (A + B)n = An + C1 An?1B + C2 An?2B2 + … + Cn?1ABn?1 + Bn n n n ? * §2.2 矩阵的代数运算 第二章 矩阵 A ——方阵 f(x) = asxs + as?1xs?1 + … + a1x + a0 f(A) = asAs + as?1As?1 + … + a1A + a0E f(x) ——多项式 注意!!! 5. 方阵A的多项式 ? 1 2 -1 2 例A = f(x) = x2 +x +3 f(A)= * §2.2 矩阵的代数运算 第二章 矩阵 三. 矩阵的转置 1. 定义: A = a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … am1 am2 … amn AT = 的转置 a11 a12 a1n … a21 a22 a2n … … … … am1 am2 amn … ? * §2.2 矩阵的代数运算 第二章 矩阵 (1) (AT)T = A, (2) (A+B)T = AT + BT, (3) (kA)T = kAT, (4) (AB)T = BTAT. 2. 性质 ? * §2.2 矩阵的代数运算 第二章 矩阵 例8 已知 求 解： 所以， * §2.2 矩阵的代数运算 第二章 矩阵 解2： * §2.2 矩阵的代数运算 第二章 矩阵 3. 对称矩阵 则称A为对称矩阵. 若方阵A = [aij]n?n满足AT = A, 即 1 2 2 1 1 0 ?1 0 x 3 ?1 3 0 aij = aji (i, j = 1, 2, …, n) ? * §2.2 矩阵的代数运算 第二章 矩阵 4. 反对称矩阵 则称A为反对称矩阵. 若方阵A = [aij]n?n满足AT = ?A, 即 0 ?2 2 0 0 1 ?1 ?1 0 3 1 ?3 0 aij = ?aji (i, j = 1, 2, …, n), ? * * 线性代数 朱广俊 zhuguangjun@suda.edu.cn * 第二章 矩 阵 第一节 矩阵 第二节 矩阵的运算 第三节 逆矩阵 第四节 线性方程组的矩阵解法 * 第二章 矩阵 §2.1 矩阵的概念 1. m?n矩阵 A= a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … am1 am2 … amn 注: 今后除非特别说明, 我们所考虑的矩阵都 是实矩阵. 元素都是实数——实矩阵 元素都是复数——复矩阵 行 列 元素 aij (1 ? i ? m, 1? j ? n); (aij) ? §2.1 矩阵的概念 * m?n m?n 3. 向量 行向量 [a1, a2, …, an] 列向量 a1 a2 … an n阶方阵: 2. 方阵 一个1?1的矩阵 就是一个数 n维 ? 第二章 矩阵 §2.1 矩阵的概念 a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … ann * n ? 例 1. 某两人有一只8升的酒壶装满了酒，还有两只空壶，分别为5升和3升。问如何将酒平分？ 用三维向量表示(8升,5升,3升)酒壶的酒量 则平分酒的问题化为在该图中求一条从起点到终 点的最短路. 从图中易得到上下两条路：显然上面一条较短， 路长为7;下面一条路长为8. 第二章 矩阵 §2.1 矩阵的概念 * 思考题 ? 一摆渡人欲