第二章 2.3 2.3.1 向量正交分解及坐标表示.ppt

备选例题 2.设a，b为平面α内的一组基底，试确定实数k，使得ka＋b和a＋kb共线． 解：∵ka＋b和a＋kb共线， ∴存在实数λ，使得ka＋b＝λ(a＋kb)， 方法感悟 方法技巧 1.用基底表示平面向量，要充分利用向量 加、减法的三角形法则或平行四边形法则，同时结合实数与向量积的定义，解题时要注意解题途径的优化与组合． 2.应用平面向量基本定理来证明平面几何问题的一般方法如下：一般先选取一组基底，再根据几何图形的特征应用向量的有关知识解题． 失误防范 1.零向量不能作为基底，两个非零向量共线时不能作为平面向量的一组基底．只有平面内两个不共线的向量才可作为基底． 2.平面内不共线的两个向量可以作为基底，对于同一个向量，用不同基底表示时，实数对并不一定相同． 3.向量的夹角与多边形内角区分开． 知能演练轻松闯关 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放 栏目导引 新知初探 思维启动 典题例证 技法归纳 知能演练 轻松闯关 第二章　平面向量 2．3　平面向量的基本定理及坐标表示 2．3.1　平面向量基本定理 学习导航 预习目标 重点难点　 重点：平面向量的基本定理及其应用，两向量的夹角及垂直． 难点：平面向量基本定理的应用． 新知初探思维启动 1.平面向量基本定理 (1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个 __________向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝_______________． (2)我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组__________． 不共线 λ1e1＋λ2e2 基底 做一做 1.下列关于基底的说法正确的是(　　) ①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底． ②基底中的向量可以是零向量． ③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． A．① B．② C．①③ D．②③ 答案：C 非零向量 ∠AOB ①范围：向量a与b的夹角范围是 ____________________． ②当θ＝0°时a与b_________． ③当θ＝180°时a与b________． (2)垂直：如果a与b的夹角是_______，则称a与b垂直，记作____________． [0°，180°] 同向 反向 90° a⊥b 做一做 2.已知向量a与b的夹角为60°，则向量－a和－b的夹角为________． 解析：如图所示，可得－a与－b的夹角为60°. 答案：60° 想一想 提示：不是．应该是∠BAC的补角． 典题例证技法归纳 题型探究 例1 如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量,判断下列说法是否正确？并说明理由. ①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量； 对基底概念的理解 ②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的 实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有 且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝ λ(λ2e1＋μ2e2)； ④若实数λ,μ使得λe1＋μe2＝0,则λ＝μ＝0. 【解】　由平面向量基本定理可知，①④ 是正确的． 对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的． 对于③，当向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2均为零向量，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，满足条件的实数λ有无数个． 【名师点评】两个向量能否构成基底，主要看两向量是否为非零向量且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这组基底唯一表示． 利用基底表示其他向量 例2 【名师点评】　关于基底的一个结论：设e1, e2是平面内一组基底，当λ1e1＋λ2e2＝0时,恒有λ1＝λ2＝0. 变式训练 已知|a|＝|b|＝2,且a与b的夹角为60°, 则a＋b与a的夹角是________，a－b与a的夹角是________． 求两向量夹角 例3 ∴〈a＋b，a〉＝∠AOC＝30° 〈a－b，a〉＝∠ABC＝60°. 【答案】　30°　60° 【名师点评】　两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决． (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量起点重合,作出两个向量的夹角,按照“一作二证三算”的步骤求出． 互动探究 2.在本例中，若“a与b的夹角为90°”，其他条件不变，〈a＋b，a〉，〈a－b，a〉的夹角应分别为________，________． 答案：45°　45°