现代控制理论_2_控制系统状态空间描述_第1讲.ppt

状态变量结构图 例2.6 已知系统的输入输出微分方程为 试列写其状态空间表达式 解：由微分方程系数知 首先求 直接写出状态空间表达式 另：对输入项含有导数项的微分方程，还有一种形式的状态空间表达式（推导略）： 注意：此种表示形式在bn=0即输入的阶次低于n时，状态空间表达式的列写非常直观简便。 因为 若bn=0，则有 如前面例2.6 已知系统的输入输出微分方程为 可佷方便的写出它的又一种状态空间表达式为： 知识回顾Knowledge Review 例2.2、电路系统状态空间表达式的列写示例 求图示RLC回路的状态空间表达式。 独立储能元件(2个)： 电容C 和电感 L 可用二阶微分方程式描述该系统 以 和 作为该系统的两个状态变量： 设状态变量 ，则该系统的状态方程为: 写成向量矩阵形式为: 简记为: 即： 若改选 和 作为两个状态变量，令: 则该系统的状态方程为: 状态变量选取的不同，状态方程也不同 指定 作为输出，则： 或 用y 表示 输出方程的矩阵表示式为： 或 ： 例2.3、力学系统状态空间表达式的列写示例 机械运动系统如下图所示， M为物体的质量，K为弹簧系数，B为阻尼器的阻尼系数，f为外加的力，y为受力后物体的位移，v为物体的运动速度。 试以外力f为输入、位移y为输出，写出该机械系统的状态空间表达式。 K M B y f 弹簧质量阻尼器系统 解：设 , , ,则有 根据牛顿第二定律 可写出该系统的运动方程： 弹簧质量阻尼器系统 K M B y 可得状态空间表达式为： 状态方程 输出方程 例2.4、倒立摆装置 长度为l ，质量为m的单倒立摆，用铰链安装在质量为 M的小车上，小车受电机操纵，在水平方向施加控制力 u，相对参考坐标系产生位移x。要求建立该系统的状 态空间表达式。 设小车瞬时位置为 摆心瞬时位置为 在水平方向，由牛顿第二定律 即： 在垂直方向：惯性力矩与重力矩平衡 即: 则有： 联立求解： 选取状态变量： 2.4 由微分方程求状态空间表达式 经典控制论：输入、输出变量间的高阶微分方程描 述系统 现代控制论：输入、状态、输出变量间的一阶微分 方程组描述系统 提出问题：需选取合适的状态变量，推导出状态空 间表达式，保持原输入输出关系不变。 2.4 由微分方程求状态空间表达式 1）输入变量没有导数项的情形 SISO线性定常连续系统微分方程的一般形式为 第一步：选择状态变量，n阶系统，一般选择n个状态变量 令 第二步：求一次导数，并代入原微分方程，有 第三步：将方程组表示为向量-矩阵形式 其中， 这样的A阵又称友矩阵 例2.5 已知系统的输入输出微分方程为 试列写其状态空间表达式。 解：取状态变量 可得 写成矩阵形式 2）系统输入量中含有导数项的情形 SISO线性定常连续系统的微分方程一般形式为： 一般输入量中导数项的次数小于或等于系统的次数n。 为避免在状态方程中出现u的导数项，可选择如下一 组状态变量。 设 ，选取： 是n个待定系数 即： 得到 将求出的 代入上式， 可得： 由已知系统微分方程 继续将上式代入前面求得的： 可得 显然，若合理选择系数 ，可使得上式中u的各阶导数项的系数都等于0 即可解得： 令上式中u的系数为 ，则： 最后可得系统的状态方程： 可写成向量-矩阵的形式： 即： 又 第二章 控制系统的状态空间描述 Mode