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则表明，经济主体i有比经济行为主体j更加凹的效用函数。 更确切地讲，经济行为主体i的效用函数 是经济行为主体j的效用函数 的一个凹变换，即存在 一个递增的、严格凹的函数G(·)，使得 对于任意的W都成立。 （4）普拉特定理 假设 是两个二次可微、严格单调递增的效 用函数，则以下三种表述是等价的： 对所有的W，有 ； 存在一个严格单调递增和严格凹的二阶可微函数G(·)，使得 ； 任何公平博彩ε对经济主体i的风险溢价较经济主体j的风险溢价高，即 2.风险厌恶与财富水平 在经济主体的财富水平发生变化时，仅仅区别投资者的 风险态度是不够的，还需要考察经济行为主体随个人初始 财富水平的变化而对风险资产投资数量的变化。即考察投 资者是将风险资产看着是正常品还是劣等品。 （1）定义 如果经济主体的绝对风险厌恶系数 是严格递减的 函数，即 ，则这类经济行为主体是递减 绝对风险厌恶的；类似地，如果 ，则 称这类经济主体为递增绝对风险厌恶的。如果 则称这类经济行为主体是常数绝对风险厌恶的。 （2）阿罗-普拉特定理 对于递减绝对风险厌恶的经济主体，随着初始财富的 增加，其对风险资产的投资逐渐增加，即他视风险资产为 正常品；对于递增绝对风险厌恶的经济主体，随着初始财 富的增加，他对风险资产的投资减少，即他视风险资产为 劣等品；对于常数绝对风险厌恶的经济行为主体，他对风 险资产的需求与其初始财富的变化无关。 （3）相对风险厌恶的性质定理 对于递增相对风险厌恶的经济主体，其风险资产的财 富需求弹性小于1（即随着财富的增加，投资于风险资产 的财富相对于总财富增加的比例下降）；对于递减相对风 险厌恶的经济行为主体，风险资产的财富需求弹性大于1； 对于常数风险厌恶的经济行为主体，风险资产的需求弹性 等于1。 对于在时期0具有初始财富W的经济主体，设 为他的风险资产需求弹性，则有： 四、几种常用的效用函数 金融经济学理论有时需要对个体的偏好做出某种假 设。其中，常用的一个假设是个体具有线性的风险容忍系 数（linear risk tolerance），满足这一假设的VNM 效用函数具有LRT形式： 在这种形式下，容易验证个体的风险容忍系数为其初始 财富的线性函数。 从上式可以看出，个体的风险容忍系数与初始财富呈 现性关系。 在上式中，当γ＞1时，个体的风险容忍系数随财富的 增加而减少；当＜1时，个体的风险容忍系数随财富的增 加而增加。 另外，由于该函数的绝对风险厌恶系数为 为一条双曲线，所以，这一效用函数也成为双曲线绝对 风险厌恶效用函数（hyperbolic absolute risk aversion，HARA)。 LRT效用函数是一个函数族，在不同的参数下，将呈现 出不同的形式： （1） （2） （3） （4） （5） 不同函数的性质 （1）二次效用函数 拥有这种效用函数的个体在投资风险资产时只考虑资 产的期望收益和方差，依此为基础资本资产定价模型得到 了风险资产定价的线性表达式。 但二次函数作为效用函数存在局限性：超过一定的财富 水平后，个体收入的边际效用为负值。 对前述（2）中的二次函数中的财富W求导： 因此，只有W在[0，1/b]时，个体的边际效用才会 大于零。 该函数的A-P绝对风险厌恶系数为： 对W求导， 这表明，二次效用函数个体的绝对风险厌恶系数是其 财富的单调递增函数，财富越多，个体的风险厌恶越强。 （2）负指数效用函数 如果个体的效用函数为负指数效用函数，则他对风险 的厌恶程度与收入无关。因为，其绝对风险厌恶系数为常 数： 这种个体在风险资产上的投资量不受其收入水平的影 响。 （3）幂函数效用函数的性质 幂函数效用函数的相对风险厌恶系数为常数。 （4）对数函数效用函数的性质 对数效用函数的个体的相对风险厌恶系数也为常数，且 等于1。（具体计算，各人自己完成） 五、随机占优 1.问题的提出 设 为我们考虑的消费计划集合，消费计划 是一个随机变量。同样地，我们可以设J是我们考 虑的证券市场上的风险证券的集合，证券j∈J有 一个随