第七章解析几何与微分几何SECTION12.pdfVIP

§ 12 一般曲面 一、 曲面的方程与曲线的坐标 曲面方程的形式有 隐 式 F(x,y,z)=0 显 式 z=f (x,y ) x x(u, ) 参数式 y y(u, ) 图 7.23 z z(u, ) 矢量式 r=r(u, ) 或 r=x(u, )i+y(u, )j +z(u, )k 对于参数式或矢量式表示的曲面，如果取 为一系列数值 1, 2 , ，而让 u 连续变动， 则 r(u, i )(i=1,2, )表示一族曲线，称为 u 线 （图7.23）；同样，如果取 u 为一系列数值 u1,u2, ， 而让 连续变动，则 r(u , )(i=1,2, )表示另一族连续曲线，称为 线.u 线与 线在曲面上构 i 成曲线网，称为坐标线或坐标网 .于是 u=ui , = j 这个数对就可以确定曲面上一点 M，这数 对(ui , j )称为点 M 的曲线坐标（或高斯坐标） . 二、 切面、法线与曲面的方向 [法线单位矢量 ] 通过曲面上一的 M 所有曲面曲线（即该曲面上的曲线） ，在点 M 的切线 落在同一平面上（奇点除外） ，称这平面为曲面在点 M 的切面通过点 M 与切面垂直的直线称 为曲面在点 M 的法线 . 切面通过的矢量 ru= r 和 r r u 称为坐标矢量，它们分别是 u 线和 线在点 M 的切矢量（图 7.24 ） 曲面上点的法线单位矢量为 r r N u r r u 这里为了区别曲线的法线单位矢量和曲面的法线单 位矢量，前者以 n 表示，后者以 N 表示 . [ 曲面的方向 ] 曲面的方向规定如下：朝 N 的正 图 7.24 向那一面是曲面的正面（图 7.24 中看到的一面）；另一面为反面 . [ 曲面的切线方程与法线方程 ] 曲面方程 切面方程 法线方程 F ( x x ) F ( y y ) x x y y z z x 0 0 y 0 0 0 0 0 F (x , y, z) 0 F F F F (z z ) 0 x0 y 0 z 0 z 0 0 z z z ( x x ) z (