高考数学培优专题库教师版 第36讲椭圆、双曲线、抛物线.docVIP

第三十六讲 椭圆双曲线抛物线 A 组 一.选择题 1. （2017年全国2卷理）若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】圆心到渐近线 距离为 ，所以，故选A. 2．设椭圆：的左、右焦点分别为，是上的点，，，则的离心率为(　　) A. B. C. D. 【答案】选D. 【解析】在中，令，因为， 所以. 所以. 3. (2017年天津卷理)已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 A． B． C． D． 【答案】 【解析】由题意得 ，选B. 4．已知是双曲线的一条渐近线，是上的一点，是的两个焦点，若，则到轴的距离为 A. B. C. D. 【答案】选C. 【解析】，不妨设的方程为，设 由 得，故到轴的距离为，故选C 5.已知双曲线：的左右焦点分别是，过的直线与的左右两支分别交于两点，且，则= A. B.3 C.4 D. 【答案】选C. 【解析】由双曲线定义可知：，; 两式相加得： = 1 \* GB3 ① 又， = 1 \* GB3 ①式可变为=4 即=4 5．（2017年全国3卷理）已知双曲线C： (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得： ，又 ，解得 ， 则 的方程为 . 本题选择B选项. 二.填空题 6. （2017年全国1卷理）已知双曲线C：（a0，b0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若∠MAN=60°，则C的离心率为________。 【答案】 【解析】 如图所示，，为双曲线的渐近线上的点，， 因为 所以 到直线的距离 在中， 代入计算得，即 由得 所以 7．已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，点，且，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【解析】设F（c，0），又A（－，0），由，得：（－，－b）（c，－b）＝0， 所以，有：，即，化为，可得离心率e＝。 8. 与双曲线过一、三象限的渐近线平行且距离为的直线方程为 . 【答案】； 【解析】双曲线过一、三象限的渐近线方程为： 设直线方程为：所以，解得 三.解答题 9.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，左焦点为，点在椭圆上，直线与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于点，． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）在轴上是否存在点，使得无论非零实数怎样变化，总有为直角？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）解法一：设椭圆的方程为， 因为椭圆的左焦点为，所以． 设椭圆的右焦点为，已知点在椭圆上， 由椭圆的定义知， 所以． 所以，从而． 所以椭圆的方程为． 解法二：设椭圆的方程为， 因为椭圆的左焦点为，所以． ① 因为点在椭圆上，所以． ② 由①②解得，，． 所以椭圆的方程为． （Ⅱ）解法一：因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为． 因为直线与椭圆交于两点，， 设点（不妨设），则点． 联立方程组消去得． 所以，． 所以直线的方程为． 因为直线与轴交于点， 令得，即点． 同理可得点． 假设在轴上存在点，使得为直角，则． 即，即． 解得或． 故存在点或，无论非零实数怎样变化，总有为直角． 解法二： 因为椭圆的左端点为，则点的坐标为． 因为直线与椭圆交于两点，， 设点，则点． 所以直线的方程为． 因为直线与轴交于点， 令得，即点． 同理可得点． 假设在轴上存在点，使得为直角，则． 即，即． （※） 因为点在椭圆上， 所以，即． 将代入（※）得． 解得或． 故存在点或，无论非零实数怎样变化，总有为直角． 解法三：因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为． 因为直线与椭圆交于两点，， 设点（），则点． 所以直线的方程为． 因为直线与轴交于点， 令得，即点． 同理可得点． 假设在轴上存在点，使得为直角，则． 即，即． 解得或． 故存在点或，无论非零实数怎样变化，总有为直角． 10．已知椭圆的离心率为，其左顶点在圆 上。 （1）求椭圆的方程； （2）若点为椭圆上不同于点的点，直线与圆的另 一个交点为，是否存在点，使得?若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由。 解：（1）因为椭