高考数学培优专题库教师版 第40讲圆锥曲线中的定值与定点问题.docVIP

试卷第 =page 8 8页，总 =sectionpages 22 22页 试卷第 =page 1 1页，总 =sectionpages 22 22页 第四十讲 圆锥曲线中的定值与定点问题 一、解答题 1．（2017年全国1卷理）已知椭圆C：（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1， ），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上. （1）求C的方程； （2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l 【解析】（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点. 又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上. 因此，解得. 故C的方程为. （2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2 如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）. 则，得，不符合题设. 从而可设l：（）.将代入得 由题设可知. 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=. 而 . 由题设，故. 即. 解得. 当且仅当时，，欲使l：，即， 所以l过定点（2，） 2．已知椭圆过点，且离心率．（12分） （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）过点的直线与椭圆交于两点，过作轴且与椭圆交于另一点，证明直线过定点，并求出定点坐标。 【解析】 椭圆的标准方程为； （Ⅱ）由题知直线的斜率存在， 设的方程为，点， 则得， 即， ， ， ， 由题可得直线方程为， 又∵， ， ∴直线方程为， 令，整理得 ， 即直线过点， 3．已知分别是椭圆的长轴与短轴的一个端点， 是椭圆左、右焦点，以点为圆心为半径的圆与以点为圆心为半径的圆的交点在椭圆上，且． （I）求椭圆的方程； （II）若直线与轴不垂直，它与的另外一个交点为是点关于轴的对称点，试判断直线是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由． 【解析】 （I）由题意得： ， 解得： ， 椭圆的方程为． （II）依题意，设直线方程为： ， 则，且．联立， 得， ， 又直线的方程为， 即 而， 直线的方程为， 故直线地定点． 4．在平面直角坐标系 中，过椭圆 右焦点 的直线交椭圆于两点 ， 为 的中点，且 的斜率为 . （1）求椭圆的标准方程； （2）设过点 的直线 （不与坐标轴垂直）与椭圆交于 两点，问：在 轴上是否存在定点 ，使得 为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】 (1) 设 ,则 ，两式相减得， ，又 ， 为的中点，且 的斜率为 ，所以 ，即 ，所以可以解得 ，即 ，即 ，又因为 ，所以椭圆 的方程为 . (2) 设直线的方程为 ，代入椭圆 的方程为，得 ，设 ，则 . ，根据题意，假设轴上存在定点 ，使得 为定值，则有 ，要使上式为定值，即与 无关，则应 ，即 ，故当点的坐标为 时， 为定值. 5．已知抛物线的方程为： ，过点的一条直线与抛物线交于两点，若抛物线在两点的切线交于点. （1）求点的轨迹方程； （2）设直线的斜率存在，取为，取直线的斜率为，请验证是否为定值？若是，计算出该值；若不是，请说明理由. 【解析】（Ⅰ）由AB直线与抛物线交于两点可知，直线AB不与x轴垂直，故可设，代入， 整理得： ，方程①的判别式，故时均满足题目要求． 记交点坐标为，则为方程①的两根， 故由韦达定理可知， ． 将抛物线方程转化为，则，故A点处的切线方程为， 整理得， 同理可得，B点处的切线方程为，记两条切线的交点， 联立两条切线的方程，解得点坐标为， 故点P的轨迹方程为， （Ⅱ）当时， ，此时直线PQ即为y轴，与直线AB的夹角为． 当时，记直线PQ的斜率，又由于直线AB的斜率为， 为定值． 6．已知点在椭圆： （）上，设， ， 分别为左顶点、上顶点、下顶点，且下顶点到直线的距离为. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设点， （）为椭圆上两点，且满足，求证： 的面积为定值，并求出该定值. 【解析】（Ⅰ）由题意，得直线的方程为，点， 点到直线的距离 ，整理，得.① 又点在椭圆上， .② 联立①②解得， ， 椭圆的方程为. （Ⅱ）设直线的方程为，代入椭圆方程，并整理得 . ， ， ， ， . 又，则由题意，得 . 整理，得，则 ， 整理，得（满足）. . 又点到直线的距离. ，为定值. 7．已知椭圆： 的离心率为，且过点，动直线： 交椭圆于不同的两点， ，且（为坐标原点） （1）求椭圆的方程. （2）讨论是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由. 【解析】 （1）由题意可知，所以，即，① 又点在椭圆上，所以有，② 由①②联立，解得， ， 故所求的椭圆方程为. （2）设，由， 可知. 联立方程组 消去化简整理得， 由，得，所