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丰台区高三数学期末考试参考答案 PAGE 1 / NUMPAGES 1 丰台区2019~2020学年度第一学期期末练习 高三数学 参考答案及评分参考 2020．01 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B B A A B C D D 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11． 12．15 13． 14．是；是 15．； 16．；(答案不唯一) 注：第14、15、16题第一空3分，第二空2分. 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17.（本小题共13分） 解：（Ⅰ） . ……………….4分（Ⅱ） . 因为，所以. 当，即时， 取得最大值. ……………….13分 18.（本小题共14分） 证明：（Ⅰ）因为平面，平面，所以. 因为，所以. 又因为， 所以平面. 因为平面，所以. ……………….4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，两两互相垂直， 如图，建立空间直角坐标系． 因为， 所以，，，. 因为平面， 所以即为平面的一个法向量. 设平面的一个法向量为， ，， 则 即 令，则. 于是. 所以. 由题知二面角为锐角，所以其余弦值为. ……………….10分 （Ⅲ）假设棱上存在点，使得平面. 由，又，故. 因为，为的中点，所以. 所以. 若平面，则，解得. 又因为平面. 所以在棱上存在点，使得平面，且. ……………….14分 19．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）记“该小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨”为事件. 由题意，有B，C两个小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过 3.5吨， 所以. ……………….4分 （Ⅱ）因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸， 所以12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区有B，C，共2个小区. 的所有可能取值为0，1，2. ； ； . 所以的分布列为: 0 1 2 ． ……………….13分 20.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）因为以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切， 所以半径等于原点到直线的距离，，即. 由离心率，可知，且，得. 故椭圆的方程为. ……………….4分 （Ⅱ）由椭圆的方程可知. 若直线的斜率不存在，则直线方程为， 所以. 则直线的方程为，直线的方程为. 令，得，. 所以两点的纵坐标之积为. 若直线的斜率存在，设直线的方程为, 由得， 依题意