步步高高中数学 必修 1 第二章 2.1.2（一）.docxVIP

PAGE PAGE 1 2.1.2　指数函数及其性质(一) 学习目标　1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.掌握指数函数图象的性质.3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域. 知识点一　指数函数 思考　细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？这个函数式与y＝x2有什么不同？ 答案　y＝2x.它的底为常数，自变量为指数，而y＝x2恰好反过来. 梳理　一般地，函数y＝ax(a0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 特别提醒：(1)规定y＝ax中a0，且a≠1的理由： ①当a≤0时，ax可能无意义；②当a0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1 (x∈R)，无研究价值.因此规定y＝ax中a0，且a≠1. (2)要注意指数函数的解析式：①底数是大于0且不等于1的常数.②指数函数的自变量必须位于指数的位置上.③ax的系数必须为1.④指数函数等号右边不会是多项式，如y＝2x＋1不是指数函数. 知识点二　指数函数的图象和性质 思考　函数的性质包括哪些？如何探索指数函数的性质？ 答案　函数性质通常包括定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性.可以通过描点作图，先研究具体的指数函数性质，再推广至一般. 梳理　指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象和性质： a1 0a1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点 过点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x0时，y1； 当x0时，0y1 当x0时，0y1； 当x0时，y1 单调性 是R上的增函数 是R上的减函数 类型一　求指数函数的解析式 例1　已知指数函数f(x)的图象过点(3，π)，求函数f(x)的解析式. 解　设f(x)＝ax，将点(3，π)代入，得到f(3)＝π， 即a3＝π，解得a＝，于是f(x)＝. 反思与感悟　根据指数函数的定义，a是一个常数，ax的系数为1，且a0，a≠1.指数位置是x，其系数也为1，凡是不符合这个要求的都不是指数函数. 要求指数函数f(x)＝ax(a0，且a≠1)的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可. 跟踪训练1　已知指数函数y＝(2b－3)ax经过点(1,2)，求a，b的值. 解　由指数函数定义可知2b－3＝1，即b＝2. 将点(1,2)代入y＝ax，得a＝2. 类型二　求指数函数与其他函数复合所得函数的定义域、值域 命题角度1　f?ax?型 例2　求下列函数的定义域、值域. (1)y＝eq \f(3x,1＋3x)；(2)y＝4x－2x＋1. 解　(1)函数的定义域为R(∵对一切x∈R,3x≠－1). ∵y＝eq \f(?1＋3x?－1,1＋3x)＝1－eq \f(1,1＋3x)， 又∵3x0,1＋3x1， ∴0eq \f(1,1＋3x)1，∴－1－eq \f(1,1＋3x)0， ∴01－eq \f(1,1＋3x)1，∴值域为(0,1). (2)函数的定义域为R， y＝(2x)2－2x＋1＝(2x－eq \f(1,2))2＋eq \f(3,4)， ∵2x0，∴2x＝eq \f(1,2)，即x＝－1时，y取最小值eq \f(3,4)，同时y可以取一切大于eq \f(3,4)的实数， ∴值域为[eq \f(3,4)，＋∞). 反思与感悟　解此类题的要点是设ax＝t，利用指数函数的性质求出t的范围.从而把问题转化为y＝f(t)的问题. 跟踪训练2　求下列函数的定义域与值域. (1)y＝ eq \r(1－?\f(1,2)?x)； (2)y＝eq \f(ax－1,ax＋1)(a0，且a≠1). 解　(1)∵1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x≥0，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x≤1，解得x≥0， ∴原函数的定义域为[0，＋∞). 令t＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x (x≥0)，则0≤t1，∴0≤eq \r(t)1， ∴原函数的值域为[0,1). (2)原函数的定义域为R. 方法一　设ax＝t，则t∈(0，＋∞). y＝eq \f(t－1,t＋1)＝eq \f(t＋1－2,t＋1)＝1－eq \f(2,t＋1). ∵t0，∴t＋11， ∴0eq \f(1,t＋1)1，∴－2eq \f(－2,t＋1)0， ∴－11－eq \f(2,t＋1)1. 即原函数的值域为(－1,1). 方法二　由y＝eq \f(ax－1,ax＋1)(a0，且a≠1)，得ax＝－eq \f(y＋1,y－1). ∵ax