步步高高中数学 必修 5 第二章 2.4（二）.pptx

第二章 数列§2.4　等比数列(二)学习目标1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法．内容索引问题导学题型探究当堂训练问题导学知识点一　等比数列通项公式的推广思考1　我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形： an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.等比数列也有类似变形吗？答案 思考2　我们知道等差数列的通项公式可以变形为an＝dn＋a1－d，其单调性由公差的正负确定；等比数列的通项公式是否也可做类似变形？答案设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.则an＝a1qn－1＝ 其形式类似于指数型函数，但q可以为负值．由于an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1(q－1)，所以{an}的单调性由a1，q，q－1的正负共同决定．梳理q＜0时，{an}是摆动数列，q＝1时，{an}是常数列．知识点二　由等比数列衍生的等比数列思考　等比数列{an}的前4项为1，2，4，8，下列判断正确的是(1){3an}是等比数列；(2){3＋an}是等比数列；(3) 是等比数列；(4){a2n}是等比数列．答案由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确．梳理(1)在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项：…，若k1，k2，k3，…，kn，…成等差数列，那么 …是等比数列．(2)如果{an}，{bn}均为等比数列，是等比数列． 知识点三　等比数列的性质思考　答案梳理一般地，在等比数列{an}中，若m＋n＝s＋t，则有am·an＝as·at(m，n，s，t∈N*)．若m＋n＝2k，则am·an＝ (m，n，k∈N*)．题型探究类型一　等比数列的判断方法例1　已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n－5an－85，n∈N*，证明：{an－1}是等比数列．证明 当n＝1时，a1＝S1＝1－5a1－85，解得a1＝－14，∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝1－5an＋5an－1，判断一个数列是等比数列的基本方法：反思与感悟跟踪训练1　若数列{an}为等比数列，公比为q，且an0，bn＝lg an，试问数列{bn}是什么数列？并证明你的结论．解答 数列{bn}是等差数列．证明如下：∴{bn}是公差为lg q的等差数列．类型二　等比数列的性质命题角度1　序号的数字特征例2　已知{an}为等比数列．(1)若an0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；解答 ＝(a3＋a5)2＝25，∵an0，∴a3＋a50，∴a3＋a5＝5.(2)若an0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．解答根据等比数列的性质a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10.反思与感悟抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题．跟踪训练2　在各项均为正数的等比数列{an}中，若a3a5＝4，则a1a2a3a4a5a6a7＝_____.128答案解析 ∴a4＝2.∴a1a2a3a4a5a6a7＝(a1a7)·(a2a6)·(a3a5)·a4＝43×2＝128.命题角度2　未知量的设法技巧例3　有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．解答 所以当a＝4，d＝4时，所求的四个数为0，4，8，16；当a＝9，d＝－6时，所求的四个数为15，9，3，1.故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. 当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0，4，8，16；故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. 反思与感悟合理地设出未知数是解决此类问题的技巧．一般地，三个数成等比数列，可设为 a，aq；三个数成等差数列，可设为a－d，a，a＋d.若四个同号的数成等比数列，可设为 aq，aq3；四个数成等差数列，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.跟踪训练3　有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数．解答 设这四个数分别为x，y，18－y，21－x，当堂训练1.在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比q为A.2 B.3C.4 D.8答案解析√由a5＝a2q3，得q3＝8，所以q＝2.12342.在等比数列{an}中，an0，且a1a10＝27，则log3a2＋log3a9等于A.9 B.6 C.3 D.2√答案解析因为a2a9＝a1a10＝27，所以log3a2＋log3a9＝log327＝3.12343.在1与2之