步步高高中数学 必修 5 第三章 3.2（一）.pptx

第三章 不等式§3.2　一元二次不等式及其解法(一)学习目标1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图象法解一元二次不等式.3.体会数形结合、分类讨论思想.内容索引问题导学题型探究当堂训练问题导学知识点一　一元二次不等式的概念思考　我们知道，方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立.那么你能写出不等式x21的解集吗？答案不等式x21的解集为{x|x－1或x1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，而不等式的每一个解均属于解集.梳理　(1)只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为 不等式.(2)能使不等式成立的未知数x的一个值称为不等式的一个解.(3)不等式所有解的 称为解集.一元二次集合知识点二　“三个二次”的关系思考　分析二次函数y＝x2－1与一元二次方程x2－1＝0和一元二次不等式x2－10之间的关系.答案一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系，如下表.Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0y＝ax2＋bx＋c (a0)的图象ax2＋bx＋c＝0 (a0)的根________________________ ____________ x1＝x2＝－没有实数根有两相等实根有两相异实根x1，x2(x1x2)梳理　ax2＋bx＋c0 (a0)的解集 ____________{x|x≠－ }Rax2＋bx＋c0 (a0)的解集 _________?__{x|xx1或xx2}{x|x1xx2}?知识点三　一元二次不等式的解法思考　根据上表，尝试解不等式x2＋23x.答案先化为x2－3x＋20.∵方程x2－3x＋2＝0的根x1＝1，x2＝2，∴原不等式的解集为{x|x1或x2}.梳理　解一元二次不等式的步骤：(1)化为基本形式ax2＋bx＋c0或ax2＋bx＋c0(其中a0)；(2)计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解；(3)有根求根；(4)根据图象写出不等式的解集.题型探究类型一　一元二次不等式的解法命题角度1　二次项系数大于0例1　求不等式4x2－4x＋10的解集.解答因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，所以方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝ ，所以原不等式的解集为 .反思与感悟当所给不等式是非一般形式的不等式时，应先化为一般形式，在具体求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图象.跟踪训练1　求不等式2x2－3x－2≥0的解集.解答∵2x2－3x－2＝0的两解为x1＝－ ，x2＝2，且a＝20，∴不等式2x2－3x－2≥0的解集是{x|x≤－ 或x≥2}.命题角度2　二次项系数小于0例2　解不等式－x2＋2x－30.解答不等式可化为x2－2x＋30.因为Δ0，方程x2－2x＋3＝0无实数解，而y＝x2－2x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集是?.反思与感悟将－x2＋2x－30转化为x2－2x＋30的过程注意符号的变化，这是解本题关键之处.跟踪训练2　求不等式－3x2＋6x2的解集.解答不等式可化为3x2－6x＋20，∵Δ＝(－6)2－4×3×2＝120， ∴不等式－3x2＋6x2的解集是命题角度3　含参数的二次不等式例3　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0.解答当a＜0时，不等式可化为(x－ )(x－1)＞0，∵a＜0，∴ ＜1，∴不等式的解集为{x|x＜ 或x＞1}.当a＝0时，不等式即－x＋1＜0，解集为{x|x＞1}.当a＞0时，不等式可化为(x－ )(x－1)＜0.当0＜a＜1时， ＞1，不等式的解集为{x|1＜x＜ }.当a＝1时，不等式的解集为?.当a＞1时，＜1，不等式的解集为{x|＜x＜1}.综上，当a＜0时，解集为{x|x＜ 或x＞1}；当a＝0时，解集为{x|x＞1}；当0＜a＜1时，解集为{x|1＜x＜ }；当a＝1时，解集为?；当a＞1时，解集为{x|＜x＜1}.反思与感悟解含参数的不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨论.跟踪训练3　解关于x的不等式(x－a)(x－a2)＜0.解答当a＜0或a＞1时，有a＜a2，此时，不等式的解集为{x|a＜x＜a2}；当0＜a＜1时，有a2＜a，此时，不等式的解集为{x|a2＜x＜a}；当a＝0或a＝1时，原不等式无解.综上，当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|a＜x＜a2}；当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|a2＜x＜a}；当a＝0或a＝1时，解集为?.类型二　“三个二次”间对应关系的应用例4　已知关于x的不等式x2＋ax＋b0的解集为{x|1＜x＜2}，试求关于x的不等式bx2＋ax＋10的解集.解答由根与系数