步步高高中数学 必修 5 第一章 1.2（三）.docxVIP

PAGE PAGE 1 学习目标　1.能够运用正弦、余弦定理解决航海测量中的实际问题.2.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用． 知识点一　航海中的测量问题 思考　在浩瀚无垠的海面上航行，最重要的是定位和保持航向．阅读教材，看看船只是如何表达位置和航向的？ 答案　用方向角和方位角． 梳理　方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角． 方向角：从指定方向到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°. 知识点二　三角形面积公式的拓展 思考　如果已知底边和底边上的高，可以求三角形面积．那么如果知道三角形两边及夹角，有没有办法求三角形面积？ 答案　在△ABC中，如果已知边AB、BC和角B，边BC上的高记为ha，则ha＝ABsin B．从而可求面积． 梳理　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B. 类型一　航海中的测量问题 例1　如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0.1°，距离精确到0.01 n mile) 解　在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°， 根据余弦定理， AC＝eq \r(AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC) ＝eq \r(67.52＋54.02－2×67.5×54.0×cos 137°) ≈113.15. 根据正弦定理，eq \f(BC,sin∠CAB)＝eq \f(AC,sin∠ABC)， sin∠CAB＝eq \f(BCsin∠ABC,AC)≈eq \f(54.0sin 137°,113.15)≈0.325 5， 所以∠CAB＝19.0°，75°－∠CAB＝56.0°. 答　此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15 n mile. 反思与感悟　解决航海问题一要搞清方位角(方向角)，二要弄清不动点(三角形顶点)，然后根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题． 跟踪训练1　甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时eq \r(3)a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？ 解　如图所示．设经过t小时两船在C点相遇， 则在△ABC中， BC＝at(海里)， AC＝eq \r(3)at(海里)， B＝90°＋30°＝120°， 由eq \f(BC,sin∠CAB)＝eq \f(AC,sin B)，得 sin∠CAB＝eq \f(BCsin B,AC)＝eq \f(at×sin 120°,\r(3)at)＝eq \f(\f(\r(3),2),\r(3))＝eq \f(1,2)， ∵0°∠CAB90°，∴∠CAB＝30°， ∴∠DAC＝60°－30°＝30°， ∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇． 类型二　三角形面积公式的应用 命题角度1　求面积 例2　在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S.(精确到0.1 cm2) (1)已知a＝14.8 cm，c＝23.5 cm，B＝148.5°； (2)已知B＝62.7°，C＝65.8°，b＝3.16 cm； (3)已知三边的长分别为a＝41.4 cm，b＝27.3 cm， c＝38.7 cm. 解　(1)应用S＝eq \f(1,2)casin B， 得S＝eq \f(1,2)×23.5×14.8×sin 148.5°≈90.9(cm2)． (2)根据正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，得c＝eq \f(bsin C,sin B)， S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)b2eq \f(sin Csin A,sin B)， A＝180°－(B＋C)＝180°－(62.7°＋65.8°)＝51.5°， S＝eq \f(1,2)×3.162×eq \f(sin 65.8°sin 51.5°,sin 62.7°)≈4.0 (cm2)． (3)根据余弦定理的推论，得 cos B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ca)＝eq \f(38.72＋41.42－27.32,2×38.7×41.4)≈0.769 7， sin B＝eq \r(1－cos2B)≈eq \r(1－0.769 72)≈0.638 4. 应用S＝eq \f(1,2)casin B，得S≈eq \f(1,2)×38.7×41.4×0.638 4