步步高高中数学 必修 5 第一章 1.2（一）.docxVIP

PAGE PAGE 1 学习目标　1.会用正弦、余弦定理解决生产实践中有关不可到达点距离的测量问题.2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力． 知识点一　常用角 思考　试画出“北偏东60°”和“南偏西45°”的示意图． 答案　 梳理　在解决实际问题时常会遇到一些有关角的术语，请查阅资料后填空： (1)方向角 指北或指南方向线与目标方向所成的小于90度的角． (2)仰角与俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角．(如下图所示) 知识点二　测量方案 思考　如何不登月测量地月距离？ 答案　可以在地球上选两点，与月亮构成三角形，测量地球上两点的距离和这两点看月亮的视角，通过解三角形求得地月距离． 梳理　测量某个量的方法有很多，但是在实际背景下，有些方法可能没法实施，比如直接测量地月距离．这个时候就需要设计方案绕开障碍间接地达到目的．设计测量方案的基本任务是把目标量转化为可测量的量，并尽可能提高精确度．一般来说，基线越长，精确度越高． 类型一　测量可到达点与不可到达点间的距离 例1　如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55 m，∠BAC＝51°，∠ACB＝75°.求A，B两点间的距离．(精确到0.1 m) 解　根据正弦定理，得eq \f(AB,sin C)＝eq \f(AC,sin B)， AB＝eq \f(ACsin C,sin B)＝eq \f(ACsin C,sin?180°－A－C?) ＝eq \f(55sin 75°,sin?180°－51°－75°?) ＝eq \f(55sin 75°,sin 54°)≈65.7(m)． 所以A，B两点间的距离为65.7 m. 反思与感悟　解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解． 跟踪训练1　在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为______千米． 答案　eq \r(6) 解析　如图所示， 由题意知C＝180°－A－B＝45°， 由正弦定理得eq \f(AC,sin 60°)＝eq \f(2,sin 45°)， ∴AC＝eq \f(2,\f(\r(2),2))·eq \f(\r(3),2)＝eq \r(6)(千米)． 类型二　测量两个不可到达点间的距离 例2　如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A、B两点间距离的方法． 解　测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD＝a，并且在C、D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ， 在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得 AC＝eq \f(asin?γ＋δ?,sin[180°－?β＋γ＋δ?])＝eq \f(asin?γ＋δ?,sin?β＋γ＋δ?)， BC＝eq \f(asin γ,sin[180°－?α＋β＋γ?])＝eq \f(asin γ,sin?α＋β＋γ?). 计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理计算出A、B两点间的距离AB＝eq \r(AC2＋BC2－2AC×BCcos α). 引申探究 对于例2，给出另外一种测量方法． 解　测量者可以在河岸边选定点E、C、D，使A、E、C三点共线，测得EC＝a，ED＝b，并且分别测得∠BEC＝∠AED＝α，∠BCA＝β，∠ADB＝γ， 在△AED和△BEC中，应用正弦定理得 AE＝eq \f(bsin γ,sin[π－?α＋γ?])＝eq \f(bsin γ,sin?α＋γ?)， BE＝eq \f(asin β,sin[π－?α＋β?])＝eq \f(asin β,sin?α＋β?). 在△ABE中，应用余弦定理计算出A、B两点间的距离 AB＝eq \r(AE2＋BE2＋2AE×BEcos α). 反思与感悟　本方案的实质是：把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为类型一． 跟踪训练2　如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40米的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A，B两点的距离是(　　) A．20eq \r(2)米 B．20eq \r(3)米 C．40eq \r(2)米 D．20eq \r(6)米 答案　D 解析　在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°， ∠BCD＝45°， ∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD， ∴BD＝CD＝40，BC＝eq \r(BD2＋CD2)＝40eq \r(2). 在△ACD中，∠ADC＝30°，∠