步步高高中数学 必修 5 第一章 习题课.docxVIP

PAGE PAGE 1 学习目标　1.学会利用三角形中的隐含条件.2.进一步熟练掌握正弦、余弦定理在解各类三角形中的应用.3.初步应用正弦、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题． 知识点一　有关三角形的隐含条件 思考　我们知道y＝sin x在区间(0，π)上不单调，所以由0＜α＜β＜π得不到sin α＜sin β.那么由A，B为△ABC的内角且A＜B，能得到sin A＜sin B吗？为什么？ 答案　能．由于三角形中大边对大角， ∴当A＜B时，有a＜b. 由正弦定理，得2Rsin A＜2Rsin B， 从而有sin A＜sin B. 梳理　“三角形”这一条件隐含着丰富的信息，利用这些信息可以得到富有三角形特色的变形和结论： (1)由A＋B＋C＝180°可得 sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－cos_C， tan(A＋B)＝－tan_C，sineq \f(A＋B,2)＝coseq \f(C,2)， coseq \f(A＋B,2)＝sineq \f(C,2). (2)由三角形的几何性质可得 acos C＋ccos A＝b，bcos C＋ccos B＝a， acos B＋bcos A＝c. (3)由大边对大角可得sin A＞sin B?A＞B. (4)由锐角△ABC可得sin A＞cos B. 知识点二　解三角形的基本类型 完成下表： 已知条件 适用定理 解的个数 三边 余弦定理 1 两边及其夹角 余弦定理 1 两边及一边对角 正弦定理或余弦定理 0,1,2 一边及两角 正弦定理 1 知识点三　三角形有关问题的解决思路 这类问题通常要借助正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为代数问题或者三角恒等式，再利用三角恒等变换解决问题，中间往往会用到一些三角形的隐含条件如内角和等． 类型一　利用正弦、余弦定理解三角形 例1　在△ABC中，若c·cos B＝b·cos C，cos A＝eq \f(2,3)，求sin B的值． 解　由c·cos B＝b·cos C，结合正弦定理，得 sin Ccos B＝sin Bcos C， 故sin(B－C)＝0，∵0Bπ，0Cπ， ∴－πB－Cπ，∴B－C＝0，B＝C，故b＝c. ∵cos A＝eq \f(2,3)，∴由余弦定理，得3a2＝2b2， 再由余弦定理，得cos B＝eq \f(\r(6),6)， 故sin B＝eq \f(\r(30),6). 引申探究 1．对于例1中的条件，c·cos B＝b·cos C，能否使用余弦定理？ 解　由余弦定理，得c·eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝b·eq \f(a2＋b2－c2,2ab). 化简得a2＋c2－b2＝a2＋b2－c2， ∴c2＝b2，从而c＝b. 2．例1中的条件c·cos B＝b·cos C的几何意义是什么？ 解　如图， 作AD⊥BC，垂足为D. 则c·cos B＝BD，b·cos C＝CD. ∴ccos B＝bcos C的几何意义为边AB，AC在BC边上的射影相等． 反思与感悟　(1)边、角互化是处理三角形边、角混合关系的常用手段； (2)解题时要画出三角形，将题目条件直观化，根据题目条件，灵活选择公式． 跟踪训练1　在△ABC中，已知b2＝ac，a2－c2＝ac－bc. (1)求A的大小； (2)求eq \f(bsin B,c)的值． 解　(1)由题意知， b2＝ac?cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(ac＋bc－ac,2bc)＝eq \f(1,2)， ∵A∈(0，π)，∴A＝eq \f(π,3). (2)由b2＝ac，得eq \f(b,c)＝eq \f(a,b)， ∴eq \f(bsin B,c)＝sin B·eq \f(a,b)＝sin B·eq \f(sin A,sin B)＝sin A＝eq \f(\r(3),2). 类型二　正弦、余弦定理与三角变换的综合应用 例2　在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2 eq \f(B＋C,2)－cos 2A＝eq \f(7,2). (1)求A的度数； (2)若a＝eq \r(3)，b＋c＝3，求b和c的值． 解　(1)由4sin2 eq \f(B＋C,2)－cos 2A＝eq \f(7,2)及A＋B＋C＝180°， 得2[1－cos(B＋C)]－2cos2 A＋1＝eq \f(7,2)， 4(1＋cos A)－4cos2 A＝5， 即4cos2A－4cos A＋1＝0， ∴(2cos A－1)2＝0，解得cos A＝eq \f(1,2). ∵0°A180°，∴A＝60°. (2)由余弦定理，得cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc). ∵cos A＝eq \f(1,2)，∴eq \f(b2＋c2－