步步高高中数学 步步高选修2-1 第三章 3.1.5.docxVIP

PAGE PAGE 1 3．1.5　空间向量运算的坐标表示 学习目标　1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直.3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题． 知识点一　空间向量的坐标运算 思考　设m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，那么m＋n，m－n，λm，m·n如何运算？ 答案　m＋n＝(x1＋x2，y1＋y2)，m－n＝(x1－x2，y1－y2)，λm＝(λx1，λy1)，m·n＝x1x2＋y1y2. 梳理　(1)空间向量a，b，其坐标形式为：a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)， a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)， λa＝(λa1，λa2，λa3)， a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3. (2)a·a＝|a|2＝aeq \o\al(2,1)＋aeq \o\al(2,2)＋aeq \o\al(2,3). 知识点二　空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 a∥b a＝λb(λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a|＝eq \r(a·a) |a|＝eq \r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3)) 夹角 cos 〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|) cos 〈a，b〉＝ eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))) 类型一　空间直角坐标系与空间向量的坐标表示 例1　设正四棱锥SP1P2P3P4的所有棱长均为2，建立适当的空间直角坐标系，求eq \o(SP,\s\up6(→))1、eq \o(P2P,\s\up6(→))3的坐标． 解　如图所示，建立空间直角坐标系，其中O为底面正方形的中心，P1P2⊥Oy轴，P1P4⊥Ox轴，SO在Oz轴上．∵|P1P2|＝2，而P1、P2、P3、P4均在xOy平面上， ∴P1(1,1,0)，P2(－1,1,0)． 在xOy平面内，P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称，∴P3(－1，－1,0)， P4(1，－1,0). 又|SP1|＝2，|OP1|＝eq \r(2)， ∴在Rt△SOP1中，|SO|＝eq \r(2)， ∴S(0,0，eq \r(2))． ∴eq \o(SP,\s\up6(→))1＝eq \o(OP,\s\up6(→))1－eq \o(OS,\s\up6(→))＝(1,1，－eq \r(2))， eq \o(P2P,\s\up6(→))3＝eq \o(OP,\s\up6(→))3－eq \o(OP,\s\up6(→))2＝(0，－2,0)． 反思与感悟　建立适当的空间直角坐标系，以各点的坐标表示简单方便为宜． 向量的坐标即终点坐标减去起点坐标对应的坐标．求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点，在原点时，向量的坐标与终点坐标相同；不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标． 跟踪训练1　如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，B1E1＝eq \f(1,4)A1B1，则eq \o(BE,\s\up6(→))1等于(　　)　 A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)，－1)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0，1)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,4)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0，－1)) 答案　C 解析　B(1,1,0)、E1(1，eq \f(3,4)，1)，eq \o(BE,\s\up6(→))1＝(0，－eq \f(1,4)，1)． 类型二　空间向量平行、垂直的坐标表示 例2　已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝eq \o(AB,\s\up6(→))，b＝eq \o(AC,\s\up6(→)). (1)设|c|＝3，c∥eq \o(BC,\s\up6(→)). 求c； (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k. 解　(1)因为eq \o(BC,\s\up6(→))＝(－2，－1,2)，且c∥eq