2020房北京市山区高三（上）期末数学试卷.docVIP

PAGE 第4页 高三数学答案第 PAGE 1页（共6页） 第 PAGE 1页 房山区2019-2020学年度第一学期期末检测答案 高三数学 一、选择题（每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C D A D A C B B 二、填空题（每小题5分，共30分，有两空的第一空3分，第二空2分） （11） （12） （13）或（答案不唯一） （14）； （15）； （16）； 三、解答题（共6小题，共80分） （17）（本小题13分） 解： （Ⅰ）∵， ∴ 在△中， ∴ （Ⅱ）在△中，由正弦定理得，即 解得 ∵，， ∴ 在△中，，根据余弦定理， 解得 （18）（本小题13分） 解： （Ⅰ）从A种茶叶亩产数据中任取一个，不低于55的有11个， 从B种茶叶亩产数据中任取一个，不低于55的有4个， 设“所取两个数据都不低于55”为事件，则 （Ⅱ）的所有可能取值为 ， ， ， 的分布列为 0 1 2 期望 （Ⅲ）如果选择A，可以从A的亩产数据的中位数或平均值比B高等方面叙述理由． 如果选择B，可以从B的亩产数据比A的方差小，比较稳定等方面叙述理由． （19）（本小题14分） 解： （Ⅰ）因为平面，平面，平面 所以，． 又因为△为等边三角形，为的中点， 所以． 所以平面． （Ⅱ）取的中点，连结，则易知，，． 因为△为等边三角形，所以． 以为原点，以所在直线分别为轴如图建系， ， 设平面的法向量，则： ，即， 令，得平面的一个法向量 易知平面的一个法向量为 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为． （Ⅲ）假设棱上存在点，使得平面，且 设，则， ，，则 要使得平面，则，得， 所以线段上存在点，使得平面，． （20）（本小题14分） （Ⅰ）由已知得，，， 椭圆的方程为 离心率为 （Ⅱ）在轴存在定点，为使 证明： 设直线方程为 代入得，化简得 由，得，， 设，则，，则 设，则，则 所以在轴存在定点使． 解法二：由椭圆的对称性不妨设与． 得得． 切线方程为，令得，． 所以，． 所以在轴存在定点使． （21）（本小题13分） （Ⅰ）由，得 则切线方程为. （Ⅱ）证法1：， 令， ，故在上单调递增. 又，又在上连续， 使得，即， .（*） 随的变化情况如下： ↘ 极小值 ↗ . 由（*）式得，代入上式得 . 令， ，故在上单调递减. ，又，. 即. 证法2：， 令， ，令得. 随x的变化情况如下： ↘ 极小值 ↗ ，即，当且仅当时取到等号. ，令得. 随x的变化情况如下： ↘ 极小值 ↗ ，即，当且仅当时取到等号. . 即. （22）（本小题13分） （Ⅰ）集合不是，因为，即子集与子集元素之和相等； 集合是，因为集合的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相等. （Ⅱ）由集合是“差异集合”知： 的个非空子集元素和为互不相等的个正整数， 于是， 所以 （Ⅲ））不妨设，考虑 而，所以 当时，； 综上，的最大值为.