步步高高中数学 必修 5 第一章 1.1.2（二）.pptx

第一章§1.1　正弦定理和余弦定理1．1.2　余弦定理(二)学习目标1.熟练掌握余弦定理及其变形形式.2.会用余弦定理解三角形.3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题．内容索引问题导学题型探究当堂训练问题导学知识点一　已知两边及其中一边的对角解三角形思考　答案能．在余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B中，已知三个量AC＝b，AB＝c，cos B，代入后得到关于a的一元二次方程，解此方程即可．梳理已知两边及其一边的对角，既可先用正弦定理，也可先用余弦定理，满足条件的三角形个数为0,1,2，具体判断方法如下：(1)当A为钝角时，则B必为锐角，三角形的解唯一；(2)当A为直角且ab时，三角形的解唯一；(3)当A为锐角时，如图，以点C为圆心，以a为半径作圆，三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系：①当aCD时，无解；②当a＝CD时，一解；③当CDab时，则圆与射线AB有两个交点，此时B为锐角或钝角，此时B的值有两个．④当a≥b时，一解．(4)如果ab，则有AB，所以B为锐角，此时B的值唯一．知识点二　判断三角形的形状思考1　三角形的形状类别很多，按边可分为等腰三角形，等边三角形，其他；按角可分为钝角三角形，直角三角形，锐角三角形．在判断三角形的形状时是不是要一个一个去判断？答案不需要．如果所知条件方便求角，只需判断最大的角是钝角，直角，锐角；如果方便求边，假设最大边为c，可用a2＋b2－c2来判断cos C的正负．而判断边或角是否相等则一目了然，不需多说．思考2　△ABC中，sin 2A＝sin 2B.则A，B一定相等吗？答案∵A，B∈(0，π)，∴2A,2B∈(0,2π)，∴2A＝2B或2A＝π－2B， 梳理判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还是锐角；其次看是否有相等的边(或角)．在转化条件时要注意等价．知识点三　证明三角形中的恒等式思考　前面我们用正弦定理化简过acos B＝bcos A，当时是把边化成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角化成边？答案梳理证明三角恒等式的关键是借助正、余弦定理进行边角互化减小等式两边的差异．题型探究类型一　利用余弦定理解已知两边及一边对角的三角形例1　已知在△ABC中，a＝8，b＝7，B＝60°，求c.解答由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得72＝82＋c2－2×8×ccos 60°，整理得c2－8c＋15＝0，解得c＝3或c＝5. 引申探究例1条件不变，用正弦定理求c.解答由正弦定理， 反思与感悟相对于用正弦定理解此类题，用余弦定理不必考虑三角形解的个数，解出几个是几个．答案解析 ∴c＝2或c＝－1(舍)．类型二　利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式例2　在△ABC中，有(1)a＝bcos C＋ccos B；(2)b＝ccos A＋acos C；(3)c＝acos B＋bcos A，这三个关系式也称为射影定理，请给出证明．证明 方法一　(1)由正弦定理，得b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，∴bcos C＋ccos B＝2Rsin Bcos C＋2Rsin Ccos B＝2R(sin Bcos C＋cos Bsin C)＝2Rsin(B＋C)＝2Rsin A＝a.即a＝bcos C＋ccos B.同理可证(2)b＝ccos A＋acos C；(3)c＝acos B＋bcos A.方法二　(1)由余弦定理，得 ∴a＝bcos C＋ccos B.同理可证(2)b＝ccos A＋acos C；(3)c＝acos B＋bcos A.反思与感悟证明三角形中边角混合关系恒等式，可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦定理转化，余弦借助余弦定理转化；二是通过正弦定理把边的关系转化为角的关系． 跟踪训练2　在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，求证：证明 ∴等式成立． ∴等式成立．类型三　利用正弦、余弦定理判断三角形形状例3　在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin A＝2sin Bcos C，试判断△ABC的形状．解答由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，得b2＋2bc＋c2－a2＝3bc，即b2＋c2－a2＝bc， 又sin A＝2sin Bcos C.∴由正弦、余弦定理，∴b2＝c2，b＝c，∴△ABC为等边三角形．引申探究将本例中的条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc改为(b2＋c2－a2)2＝b3c＋c3b－a2bc，其余条件不变，试判断△ABC的形状．解答 由(b2＋c2－a2)2＝b3c＋c3b－a2bc，得(b2＋c2－a2)2＝bc(b2＋c2－a2)，∴(b2＋c2－a2)(b2＋c2－a2－bc)＝0，∴b2＋c2－a2＝0或b