步步高高中数学 必修 1 第二章 2.1.2（二）.docxVIP

PAGE PAGE 1 2.1.2　指数函数及其性质(二) 学习目标　1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断.2.能借助指数函数性质比较大小.3.会解简单的指数方程、不等式.4.了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法. 知识点一　不同底指数函数图象的相对位置 思考　y＝2x与y＝3x都是增函数，都过点(0,1)，在同一坐标系内如何确定它们两个的相对位置？ 答案　经描点观察，在y轴右侧，2x＜3x，即y＝3x图象在y＝2x上方，经(0,1)点交叉，位置在y轴左侧反转，y＝2x在y＝3x图象上方. 梳理　一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系： (1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x＝1时，y＝a去理解，如图. (2)指数函数y＝ax与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x(a＞0且a≠1)的图象关于y轴对称. 知识点二　比较幂的大小 思考　若x1＜x2，则与(a＞0且a≠1)的大小关系如何？ 答案　当a＞1时，y＝ax在R上为增函数，所以＜， 当0＜a＜1时，y＝ax在R上为减函数，所以＞. 梳理　一般地，比较幂大小的方法有： (1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断； (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图象的变化规律来判断； (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断. 知识点三　解指数方程、不等式 思考　若＜，则x1，x2的大小关系如何？ 答案　当f(x)在区间[m，n]上单调递增(减)时，若x1，x2∈[m，n]，则f(x1)＜f(x2)?x1＜x2(x1＞x2). 所以，当0＜a＜1时，＜?x1＞x2， 当a＞1时，＜?x1＜x2. 此原理可用于解指数方程、不等式. 梳理　简单指数不等式的解法： (1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解； (2)形如af(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解； (3)形如ax＞bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解. 知识点四　与指数函数复合的函数单调性 思考　y＝的定义域与y＝eq \f(1,x)的定义域是什么关系？y＝的单调性与y＝eq \f(1,x)的单调性有什么关系？ 答案　由于y＝ax(a＞0且a≠1)的定义域为R，故y＝的定义域与y＝eq \f(1,x)的定义域相同，故研究y＝的单调性，只需在y＝eq \f(1,x)的定义域内研究.若设0＜x1＜x2，则eq \f(1,x1)＞eq \f(1,x2)，＜，不等号方向的改变与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，y＝eq \f(1,x)的单调性均有关. 梳理　一般地，有：形如y＝af(x)(a0，且a≠1)函数的性质 (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域. (2)当a1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0a1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反. 类型一　解指数方程 例1　解下列方程. (1)81×32x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))x＋2； (2)22x＋2＋3×2x－1＝0. 解　(1)∵81×32x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))x＋2， ∴32x＋4＝3－2(x＋2)， ∴2x＋4＝－2(x＋2)， ∴x＝－2. (2)∵22x＋2＋3×2x－1＝0， ∴4×(2x)2＋3×2x－1＝0. 令t＝2x(t＞0)，则方程可化为4t2＋3t－1＝0， 解得t＝eq \f(1,4)或t＝－1(舍去). ∴2x＝eq \f(1,4)，解得x＝－2. 反思与感悟　(1)af(x)＝b型通常化为同底来解. (2)解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围.转化为解二次方程，用二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍. 跟踪训练1　解下列方程. (1)33x－2＝81； (2)eq \r(5x)＝eq \r(3,25)； (3)52x－6×5x＋5＝0. 解　(1)∵81＝34，∴33x－2＝34，∴3x－2＝4，解得x＝2. (2)∵eq \r(5x)＝eq \r(3,25)，∴＝， ∴eq \f(x,2)＝eq \f(2,3)，解得x＝eq \f(4,3). (3)令t＝5x，则t0，原方程可化为t2－6t＋5＝0，