步步高高中数学 必修 1 第二章 2.2.2（一）.docxVIP

PAGE PAGE 1 2.2.2　对数函数及其性质(一) 学习目标　1.理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的性质.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用. 知识点一　对数函数的概念 思考　已知函数y＝2x，那么反过来，x是否为关于y的函数？ 答案　由于y＝2x是单调函数，所以对于任意y∈(0，＋∞)都有唯一确定的x与之对应，故x也是关于y的函数，其函数关系式是x＝log2y，此处y∈(0，＋∞). 梳理　一般地，我们把函数y＝logax(a0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). 知识点二　对数函数的图象与性质 思考　y＝logax化为指数式是x＝ay.你能用指数函数单调性推导出对数函数单调性吗？ 答案　当a＞1时，若0＜x1＜x2，则，解指数不等式，得y1＜y2从而y＝logax在(0，＋∞)上为增函数. 当0＜a＜1时，同理可得y＝logax在(0，＋∞)上为减函数. 梳理　类似地，我们可以借助指数函数图象和性质得到对数函数图象和性质： 定义 y＝logax (a0，且a≠1) 底数 a1 0a1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过点(1,0)，即loga1＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 类型一　对数函数的概念 例1　已知对数函数y＝f(x)过点(4,2)，求f?eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))及f(2lg 2). 解　设y＝logax(a＞0，且a≠1)，则2＝loga4，故a＝2，即y＝log2x，因此f?eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝log2eq \f(1,2)＝－1，f(2lg 2)＝log22lg 2＝lg 2. 反思与感悟　判断一个函数是否为对数函数的方法 判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a＞0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件： ①系数为1. ②底数为大于0且不等于1的常数. ③对数的真数仅有自变量x. 跟踪训练1　判断下列函数是不是对数函数？并说明理由. (1)y＝logax2(a＞0，且a≠1)； (2)y＝log2x－1； (3)y＝logxa(x＞0，且x≠1)； (4)y＝log5x. 解　∵(1)中真数不是自变量x， ∴不是对数函数； ∵(2)中对数式后减1，∴不是对数函数； ∵(3)中底数是自变量x，而非常数a， ∴不是对数函数. (4)为对数函数. 类型二　对数函数的定义域的应用 例2　求下列函数的定义域： (1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)； (2)y＝log2(16－4x). 解　(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3－x0，,3＋x0，))得－3x3， ∴函数的定义域是{x|－3x3}. (2)由16－4x0，得4x16＝42， 由指数函数的单调性得x2， ∴函数y＝log2(16－4x)的定义域为{x|x2}. 引申探究 1.把例2(1)中的函数改为y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)，求定义域. 解　由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－30，,x＋30，))得x3. ∴函数y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)的定义域为{x|x3}. 2.求函数y＝loga[(x＋3)(x－3)]的定义域，相比引申探究1，定义域有何变化？ 解　(x＋3)(x－3)0，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋30，,x－30))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋30，,x－30，)) 解得x－3或x3. ∴函数y＝loga[(x＋3)(x－3)]的定义域为{x|x－3或x3}. 相比引申探究1，函数y＝loga[(x＋3)(x－3)]的定义域多了(－∞，－3)这个区间，原因是对于y＝loga[(x＋3)·(x－3)]，要使对数有意义，只需(x＋3)与(x－3)同号，而对于y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)，要使对数有意义，必须(x－3)与(x＋3)同时大于0. 反思与感悟　求含对数式的函数定义域关键是真数大于0，底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意真数底数的取值范围是否改变. 跟踪训练2　求下列函数的定义域. (1)y＝eq \f(\r(x2－4),lg?x＋3?)； (2)y＝log(x＋1)(16－4x)； (3)y＝l