步步高高中数学 必修 1 第一章 1.3.1 第1课时.docxVIP

PAGE PAGE 1 1.3.1　单调性与最大(小)值 第1课时　函数的单调性 学习目标　1.理解函数单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性. 知识点一　函数的单调性 思考　画出函数f(x)＝x、f(x)＝x2的图象，并指出f(x)＝x、f(x)＝x2的图象的升降情况如何？ 答案　两函数的图象如下： 函数f(x)＝x的图象由左到右是上升的；函数f(x)＝x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的. 梳理　一般地，单调性是相对于区间来说的，函数图象在某区间上上升，则函数在该区间上为增函数，该区间称为增区间.反之则为减函数，相应区间称为减区间.因为很多时候我们不知道函数图象是什么样的，而且用上升下降来刻画单调性很粗糙.所以有以下定义： 设函数f(x)的定义域为I： (1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数. (2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数. 知识点二　函数的单调区间 思考　我们已经知道f(x)＝x2的减区间为(－∞，0]，f(x)＝eq \f(1,x)的减区间为(－∞，0)，这两个减区间能不能交换？ 答案　f(x)＝x2的减区间可以写成(－∞，0)，而f(x)＝eq \f(1,x)的减区间(－∞，0)不能写成(－∞，0]，因为0不属于f(x)＝eq \f(1,x)的定义域. 梳理　一般地，有下列常识： (1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开. (2)单调区间D?定义域I. (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大. 类型一　求单调区间并判断单调性 例1　如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ 解　y＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y＝f(x)在区间[－5，－2]，[1,3]上是减函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是增函数. 反思与感悟　函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有. 跟踪训练1　写出函数y＝|x2－2x－3|的单调区间，并指出单调性. 解　先画出f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－2x－3，x－1或x3，,－?x2－2x－3?，－1≤x≤3))的图象，如图. 所以y＝|x2－2x－3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中单调减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调增区间是[－1,1]，[3，＋∞). 类型二　证明单调性 命题角度1　证明具体函数的单调性 例2　证明f(x)＝eq \r(x)在其定义域上是增函数. 证明　f(x)＝eq \r(x)的定义域为[0，＋∞). 设x1，x2是定义域[0，＋∞)上的任意两个实数，且x1x2， 则f(x1)－f(x2)＝eq \r(x1)－eq \r(x2) ＝eq \f(?\r(x1)－\r(x2)??\r(x1)＋\r(x2)?,\r(x1)＋\r(x2))＝eq \f(x1－x2,\r(x1)＋\r(x2)). ∵0≤x1x2，∴x1－x20，eq \r(x1)＋eq \r(x2)0， ∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)， ∴f(x)＝eq \r(x)在它的定义域[0，＋∞)上是增函数. 反思与感悟　运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x1，x2且x1x2的条件下，转化为确定f(x1)与f(x2)的大小，要牢记五大步骤：取值→作差→变形→定号→小结. 跟踪训练2　求证：函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)在[1，＋∞)上是增函数. 证明　设x1，x2是实数集R上的任意实数，且1≤x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋eq \f(1,x1)－(x2＋eq \f(1,x2)) ＝(x1－x2)＋(eq \f(1,x1)－eq \f(1,x2))＝(x1－x2)＋eq \f(x2－x1,x1x2) ＝(x1－x2)(1－eq \f(1,x1x2))＝(x1－x2)(eq \f(x1x2－1,x1x2)). ∵1≤x1x2，∴x1－x20,1x1x2