步步高高中数学 必修 1 第一章 1.3.2 第1课时.docxVIP

PAGE PAGE 1 1.3.2　奇偶性 第1课时　奇偶性的概念 学习目标　1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题. 知识点一　函数奇偶性的几何特征 思考　下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？ 答案　①②关于y轴对称，③④关于原点对称. 梳理　一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数. 知识点二　函数奇偶性的定义 思考1　为什么不直接用图象关于y轴(原点)对称来定义函数的奇偶性？ 答案　因为很多函数图象我们不知道，即使画出来，细微之处是否对称也难以精确判断. 思考2　利用点对称来刻画图象对称有什么好处？ 答案　好处有两点：(1)等价：只要所有点均关于y轴(原点)对称，则图象关于y轴(原点)对称，反之亦然. (2)可操作：要判断点是否关于y轴(原点)对称，只要代入解析式验证即可，不知道函数图象也能操作. 梳理　函数奇偶性的概念： (1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于y轴的对称点(－x，f(x))也在f(x)图象上. (2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于原点的对称点(－x，－f(x))也在f(x)图象上. 知识点三　奇(偶)函数的定义域特征 思考　如果一个函数f(x)的定义域是(－1,1]，那么这个函数f(x)还具有奇偶性吗？ 答案　由函数奇偶性定义，对于定义域内任一元素x，其相反数－x必须也在定义域内，才能进一步判断f(－x)与f(x)的关系.而本问题中，1∈(－1,1]，－1?(－1,1]，f(－1)无定义，自然也谈不上是否与f(1)相等了.所以该函数既非奇函数，也非偶函数. 梳理　一般地，判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于原点对称. 类型一　证明函数的奇偶性 命题角度1　已知函数解析式，证明奇偶性 例1　(1)证明f(x)＝eq \f(x3－x2,x－1)既非奇函数又非偶函数； (2)证明f(x)＝(x＋1)(x－1)是偶函数； (3)证明f(x)＝eq \r(1－x2)＋eq \r(x2－1)既是奇函数又是偶函数. 证明　(1)因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1}，所以对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，故f(x)＝eq \f(x3－x2,x－1)既非奇函数又非偶函数. (2)函数的定义域为R，因函数f(x)＝(x＋1)(x－1)＝x2－1，又因f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，所以函数为偶函数. (3)定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x，都有f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)，故函数f(x)＝eq \r(1－x2)＋eq \r(x2－1)为偶函数.又f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)＝eq \r(1－x2)＋eq \r(x2－1)为奇函数.即该函数既是奇函数又是偶函数. 反思与感悟　利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，则－x也一定属于定义域. 跟踪训练1　(1)证明f(x)＝(x－2) eq \r(\f(2＋x,2－x))既非奇函数又非偶函数； (2)证明f(x)＝x|x|是奇函数. 证明　(1)由eq \f(2＋x,2－x)≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数. (2)函数的定义域为R，因f(－x)＝(－x)|－x|＝－x|x|＝－f(x)，所以函数为奇函数. 命题角度2　证明分段函数的奇偶性 例2　判断函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(?x＋5?2－4，x∈?－6，－1]，,?x－5?2－4，x∈[1，6?))的奇偶性. 解　由题意可知f(x)的定义域为(－6，－1]∪[1,6)， 关于原点对称， 当x∈(－6，－1]时，－x∈[1,6)， 所以f(－x)＝(－x－5)2－4＝(x＋5)2－4＝f(x)； 当x∈[1,6)时，－x∈(－6，－1]， 所以f(－x)＝(－x＋5)2－4＝(x－5)2－4＝f(x). 综上可知对于任意的x∈(－6，－1]∪[1,6)， 都有f(－x)＝f(x)， 所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(?x＋5?2－4，x∈?－6，－1]，,?x－5?2－4，x∈[1，6?))是偶函数. 反思与感悟　分段函数也是函数，证明奇偶性也是抓住两点：(1)定义域是否关于原点对称；(2