步步高高中数学 必修 1 第一章 1.3.2 第2课时.docxVIP

PAGE PAGE 1 第2课时　奇偶性的应用 学习目标　1.掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以解不等式.3.理解函数的奇偶性的推广——对称性. 知识点一　用奇偶性求解析式 思考　函数f(x)在区间[a，b]上的解析式与该区间函数图象上的点(x，y)有什么关系？ 答案　点(x，y)满足y＝f(x). 梳理　一般地，求解析式的任务就是要找到一个含有自变量因变量的等式，该等式同时满足两个条件： ①定义域符合要求； ②图象上任意一点均满足该式. 特别地，如果知道函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求对称区间[－b，－a]上的解析式，那么就可以设出关于原点对称区间[－b，－a]上任一点(x，y)，通过关于原点(或y轴)的对称点(－x，－y)(或(－x，y))满足的关系式间接找到(x，y)所满足的解析式. 知识点二　奇偶性与单调性 思考　观察偶函数y＝x2与奇函数y＝eq \f(1,x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性，你有何猜想？ 答案　偶函数y＝x2在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相反；奇函数y＝eq \f(1,x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相同. 梳理　一般地，若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性. 知识点三　奇偶性的推广 思考　对于定义域内任意x，若f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)的图象关于(0,0)对称，那么若f(1－x)＝－f(1＋x)，函数f(x)的图象又有什么特点？ 答案　设1－x＝x1,1＋x＝x2，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)＝1，,\f(f?x1?＋f?x2?,2)＝0，)) 即点(x1，f(x1))与点(x2，f(x2))关于点(1,0)对称. 梳理　一般地，对于定义域内任意x， (1)若f(a－x)＝2b－f(a＋x)，则f(x)图象关于点(a，b)对称.当a＝b＝0时，即为奇函数定义. (2)若f(a－x)＝f(a＋x)，则f(x)图象关于直线x＝a对称，当a＝0时，即为偶函数定义. 类型一　用奇偶性求解析式 命题角度1　已知区间[a，b]上的解析式，求[－b，－a]上的解析式 例1　函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x0时，f(x)＝－x＋1，求当x0时，f(x)的解析式. 解　设x0，则－x0， ∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1， 又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1， ∴当x0时，f(x)＝－x－1. 反思与感悟　求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式. 跟踪训练1　已知y＝f(x)是定义在 R上的奇函数，且当x0时，f(x)＝2x－x2.求y＝f(x)的解析式. 解　设x0，则－x0，因为f(x)是奇函数， 所以f(x)＝－f(－x)＝－[2(－x)－(－x)2]＝2x＋x2. 因为y＝f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0. 所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋2x，x≤0，,2x－x2，x0.)) 命题角度2　已知一奇一偶两函数之和，求这两个函数的解析式 例2　设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝eq \f(1,x－1)，求函数f(x)，g(x)的解析式. 解　∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， ∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)， 由f(x)＋g(x)＝eq \f(1,x－1). ① 用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝eq \f(1,－x－1)， ∴f(x)－g(x)＝eq \f(1,－x－1)， ② (①＋②)÷2，得f(x)＝eq \f(1,x2－1)； (①－②)÷2，得g(x)＝eq \f(x,x2－1). 反思与感悟　f(x)＋g(x)＝eq \f(1,x－1)对定义域内任意x都成立，所以可以对x任意赋值，如x＝－x. 因为f(x)，g(x)一奇一偶，才能把－x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，从中解出f(x)和g(x). 跟踪训练2　设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x