步步高高中数学 必修 5 第二章 2.5（一）.docxVIP

PAGE PAGE 1 学习目标　1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题． 知识点一　等比数列的前n项和公式的推导 思考　对于S64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S64? 答案　 比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S64，即S64＝eq \f(1－264,1－2)＝264－1. 梳理　设等比数列{an}的首项是a1，公比是q，前n项和Sn可用下面的“错位相减法”求得． Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1. ① 则qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn. ② 由①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn. 当q≠1时，Sn＝eq \f(a1?1－qn?,1－q). 当q＝1时，由于a1＝a2＝…＝an，所以Sn＝na1. 结合通项公式可得： 等比数列前n项和公式： Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(a1?1－qn?,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)?q≠1?，,na1?q＝1?.)) 知识点二　等比数列的前n项和公式的应用 思考　要求等比数列前8项的和： (1)若已知其前三项，用哪个公式比较合适？ (2)若已知a1，a9，q的值．用哪个公式比较合适？ 答案　(1)用Sn＝eq \f(a1?1－qn?,1－q).(2)用Sn＝eq \f(a1－anq,1－q). 梳理　一般地，使用等比数列求和公式时需注意： (1) 一定不要忽略q＝1的情况； (2) 知道首项a1、公比q和项数n，可以用eq \f(a1?1－qn?,1－q)；知道首尾两项a1，an和q，可以用eq \f(a1－anq,1－q)； (3) 在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个． 类型一　等比数列前n项和公式的应用 命题角度1　前n项和公式的直接应用 例1　求下列等比数列前8项的和： (1)eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，eq \f(1,8)，…； (2)a1＝27，a9＝eq \f(1,243)，q0. 解　(1)因为a1＝eq \f(1,2)，q＝eq \f(1,2)， 所以S8＝eq \f(\f(1,2)[1－?\f(1,2)?8],1－\f(1,2))＝eq \f(255,256). (2)由a1＝27，a9＝eq \f(1,243)，可得eq \f(1,243)＝27·q8.又由q0， 可得q＝－eq \f(1,3).所以S8＝eq \f(27[1－?－\f(1,3)?8],1－?－\f(1,3)?)＝eq \f(1 640,81). 反思与感悟　求等比数列前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q＝1是否成立． 跟踪训练1　若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________. 答案　2　2n＋1－2 解析　设等比数列的公比为q， ∵a2＋a4＝20，a3＋a5＝40， ∴20q＝40，且a1q＋a1q3＝20， 解得q＝2，且a1＝2. 因此Sn＝eq \f(a1?1－qn?,1－q)＝2n＋1－2. 命题角度2　通项公式、前n项和公式的综合应用 例2　在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q. 解　由题意，得若q＝1，则S3＝3a1＝6，符合题意． 此时，q＝1，a3＝a1＝2. 若q≠1，则由等比数列的前n项和公式， 得S3＝eq \f(a1?1－q3?,1－q)＝eq \f(2?1－q3?,1－q)＝6， 解得q＝－2. 此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8. 综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8. 反思与感悟　(1)应用等比数列的前n项和公式时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． (2)当q＝1时，等比数列是常数列，所以Sn＝na1；当q≠1时，等比数列的前n项和Sn有两个公式．当已知a1，q与n时，用Sn＝eq \f(a1?1－qn?,1－q)比较方便；当已知a1，q与an时，用Sn＝eq \f(a1－anq,1－q)比较方便． 跟踪训练2　在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn. 解　方法一　由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1?1＋q?＝30，,a1?1＋q＋q2?＝155，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝5，,q＝5))或eq \b\lc\{\rc\ (\