步步高高中数学 必修 5 第三章 3.4（二）.docxVIP

PAGE PAGE 1 学习目标　1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题． 知识点一　基本不等式及变形 思考　使用基本不等式证明：eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)(a0，b0)，并说明什么时候等号成立． 答案　∵a0，b0，∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥2eq \r(\f(1,ab))0， ∴eq \f(1,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \f(\r(ab),2)， 即eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)(a0，b0)，当且仅当eq \f(1,a)＝eq \f(1,b)，即a＝b时，等号成立． 梳理　以下是基本不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件． 当a0，b0时，有eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤ eq \r(\f(a2＋b2,2))； 当且仅当a＝b时，以上三个等号同时成立． 知识点二　用基本不等式求最值 思考　因为x2＋1≥2x，当且仅当x＝1时取等号．所以当x＝1时，(x2＋1)min＝2. 以上说法对吗？为什么？ 答案　错．显然(x2＋1)min＝1. x2＋1≥2x，当且仅当x＝1时取等号．仅说明抛物线y＝x2＋1恒在直线y＝2x上方，仅在x＝1时有公共点． 使用基本不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值．如果都不是定值，可能出错． 梳理　基本不等式求最值的条件： (1)x，y必须是正数； (2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值； (3)等号成立的条件是否满足． 类型一　基本不等式与最值 例1　(1)若x0，求函数y＝x＋eq \f(4,x)的最小值，并求此时x的值； (2)设0xeq \f(3,2)，求函数y＝4x(3－2x)的最大值； (3)已知x2，求x＋eq \f(4,x－2)的最小值； (4)已知x0，y0，且 eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，求x＋y的最小值． 解　(1)当x0时，x＋eq \f(4,x)≥2 eq \r(x·\f(4,x))＝4， 当且仅当x＝eq \f(4,x)，即x2＝4，x＝2时取等号． ∴函数y＝x＋eq \f(4,x)(x0)在x＝2时取得最小值4. (2)∵0xeq \f(3,2)， ∴3－2x0， ∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)] ≤2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2x＋?3－2x?,2)))2＝eq \f(9,2). 当且仅当2x＝3－2x，即x＝eq \f(3,4)时，等号成立． ∵eq \f(3,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2))). ∴函数y＝4x(3－2x)(0xeq \f(3,2))的最大值为eq \f(9,2). (3)∵x2，∴x－20， ∴x＋eq \f(4,x－2)＝x－2＋eq \f(4,x－2)＋2≥2 eq \r(?x－2?·\f(4,x－2))＋2＝6， 当且仅当x－2＝eq \f(4,x－2)， 即x＝4时，等号成立． ∴x＋eq \f(4,x－2)的最小值为6. (4)方法一　∵x0，y0，eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1， ∴x＋y＝(x＋y)＝eq \f(y,x)＋eq \f(9x,y)＋10 ≥6＋10＝16， 当且仅当eq \f(y,x)＝eq \f(9x,y)，又eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1， 即x＝4，y＝12时，上式取等号． 故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16. 方法二　由eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)． 由eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1可知x1，y9， ∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10 ≥2eq \r(?x－1??y－9?)＋10＝16， 当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时上式取等号， 故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16. 反思与感悟　在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备． 跟踪训练1　(1)已知x0，求f(x)＝eq \f(12,x)＋3x的最小值； (2)已知x3，求f(x)＝eq \f(4,x－3)＋x的最大值； (3)设x0，y0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值． 解　(1