步步高高中数学 步步高选修2-1 第二章 2.2.2（一）.docxVIP

PAGE PAGE 1 2．2.2　椭圆的简单几何性质(一) 学习目标　1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形． 知识点一　椭圆的范围、对称性和顶点坐标 思考1　观察椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(ab0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 答案　(1)范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b； (2)对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称； (3)特殊点：顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)． 思考2　在画椭圆图象时，怎样才能画的更准确些？ 答案　在画椭圆图象时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(－a，b)，(a，b)，(－a，－b)，(a，－b)． 梳理　椭圆的简单几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(ab0) eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(ab0) 图形 焦点坐标 (±c,0) (0，±c) 对称性 关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称 顶点坐标 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a 长轴、 短轴 长轴A1A2长为2a，短轴B1B2长为2b 知识点二　椭圆的离心率 思考　如何刻画椭圆的扁圆程度？ 答案　用离心率刻画扁圆程度，e越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁． 梳理　(1)椭圆的焦距与长轴长的比e＝eq \f(c,a)叫椭圆的离心率． (2)对于eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，b越小，对应的椭圆越扁，反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当a＝b时，c＝0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x2＋y2＝a2.(如图) 类型一　由椭圆方程研究其简单几何性质 例1　求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解　已知方程化成标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1， 于是a＝4，b＝3，c＝eq \r(16－9)＝eq \r(7)， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6， 离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(7),4)，又知焦点在x轴上， ∴两个焦点坐标分别是(－eq \r(7)，0)和(eq \r(7)，0)， 四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)和(0,3)． 反思与感悟　解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量． 跟踪训练1　求椭圆9x2＋y2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解　椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,81)＝1，则a＝9，b＝3，c＝eq \r(a2－b2)＝6eq \r(2)，长轴长：2a＝18; 短轴长：2b＝6； 焦点坐标：(0,6eq \r(2))，(0，－6eq \r(2))； 顶点坐标：(0,9)，(0，－9)，(3,0)，(－3,0)． 离心率：e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2\r(2),3). 类型二　椭圆的几何性质的简单应用 例2　如图所示，已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为eq \r(10)－eq \r(5)，求这个椭圆的方程． 解　依题意，设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(ab0)， 由椭圆的对称性知|B1F|＝|B2F|， 又B1F⊥B2F， ∴△B1FB2为等腰直角三角形， ∴|OB2|＝|OF|，即b＝c，|FA|＝eq \r(10)－eq \r(5)， 即a－c＝eq \r(10)－eq \r(5)，且a2＝b2＋c2， 将上面三式联立，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝c，,a－c＝\r(10)－\r(5)，,a2＝b2＋c2，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\r(10)，,b＝\r(5).)) ∴所求椭圆方程为eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,5)＝1. 反思与感悟　确定椭圆的标准方程时，首先要分清其焦点位置，然后，找到关于a，b，c的等量关系，最后确定a2与b2的值即可确定其标准方程． 跟踪训练2　已知椭圆的对