步步高高中数学 步步高选修2-1 第三章 3.1.3.docxVIP

PAGE PAGE 1 3.1.3　空间向量的数量积运算 学习目标　1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直． 知识点一　空间向量数量积的概念 思考　如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量eq \o(OA,\s\up6(→))与eq \o(BC,\s\up6(→))的数量积？并总结求两个向量数量积的方法． 解　∵eq \o(BC,\s\up6(→))＝eq \o(AC,\s\up6(→))－eq \o(AB,\s\up6(→))， ∴eq \o(OA,\s\up6(→))·eq \o(BC,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))·eq \o(AC,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→))·eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝|eq \o(OA,\s\up6(→))||eq \o(AC,\s\up6(→))|cos〈eq \o(OA,\s\up6(→))，eq \o(AC,\s\up6(→))〉－|eq \o(OA,\s\up6(→))||eq \o(AB,\s\up6(→))|cos〈eq \o(OA,\s\up6(→))，eq \o(AB,\s\up6(→))〉 ＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16eq \r(2). 求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度不确定时，可用已知夹角和长度的向量来表示该向量，再代入计算． 梳理　(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. (2)数量积的运算律 数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c (3)空间向量的夹角 ①定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．②范围：〈a，b〉∈[0，π]．特别地：当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，a⊥b. 知识点二　空间向量的数量积的性质 两个向量数量积的性质 ①若a，b是非零向量，则a⊥b?a·b＝0 ②若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；若反向，则a·b＝－|a|·|b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a) ③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|) ④|a·b|≤|a|·|b| 类型一　空间向量的数量积运算 例1　已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算： (1)eq \o(BC,\s\up6(→))·eq \o(ED,\s\up6(→))1；(2)eq \o(BF,\s\up6(→))·eq \o(AB,\s\up6(→))1；(3)eq \o(EF,\s\up6(→))·eq \o(FC,\s\up6(→))1. 解　如图，设eq \o(AB,\s\up6(→))＝a，eq \o(AD,\s\up6(→))＝b， eq \o(AA,\s\up6(→))1＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4， a·b＝b·c＝c·a＝0. (1)eq \o(BC,\s\up6(→))·eq \o(ED,\s\up6(→))1＝b·[eq \f(1,2)(c－a)＋b]＝|b|2＝42＝16. (2)eq \o(BF,\s\up6(→))·eq \o(AB,\s\up6(→))1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－a＋\f(1,2)b))·(a＋c)＝|c|2－|a|2 ＝22－22＝0. (3)eq \o(EF,\s\up6(→))·eq \o(FC,\s\up6(→))1＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)?c－a?＋\f(1,2)b))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b＋a)) ＝eq \f(1,2)(－a＋b＋c)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b＋a)) ＝－eq \f(1,2)|a|2＋eq \f(1,4)|b|2＝2. 反思与感悟　两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量．零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律． 跟踪训练1　已知正