步步高高中数学 步步高选修2-1 第三章 3.1.4.docxVIP

PAGE PAGE 1 3．1.4　空间向量的正交分解及其坐标表示 学习目标　1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题；2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念；3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标． 知识点一　空间向量基本定理 思考　平面向量基本定量的内容是什么？ 答案　如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中，不共线的e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 梳理　(1)如果三个向量a，b，c共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c叫做基向量，空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． (2)基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表示，构成基底的三个向量a，b，c中，没有零向量． (3)单位正交基底：如果{e1，e2，e3}为单位正交基底，则这三个基向量的位置关系是两两垂直，长度为1；且向量e1，e2，e3有公共的起点． 知识点二　空间向量的坐标表示 思考　平面向量的坐标是如何表示的？ 答案　在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标． 设eq \o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj，则向量eq \o(OA,\s\up6(→))的坐标(x，y)就是点A的坐标，即若eq \o(OA,\s\up6(→))＝(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立(O是坐标原点)． 梳理　(1)设e1，e2，e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)，以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，那么对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量eq \o(OP,\s\up6(→))＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3，我们把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)，此时向量p的坐标恰是点P在空间直角坐标系Oxyz中的坐标(x，y，z)． (2)向量p的坐标是把向量p的起点平移到坐标原点O，则eq \o(OP,\s\up6(→))的终点P的坐标就是向量p的坐标，这样就把空间向量坐标化了. 类型一　空间向量的基底 例1　若{a，b，c}是空间的一个基底．试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底？ 解　假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c. ∵{a，b，c}为基底，∴a，b，c不共面． ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1＝μ，1＝λ，0＝λ＋μ，))此方程组无解．∴a＋b，b＋c，c＋a不共面． ∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底． 反思与感悟　空间向量有无数个基底．判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断． 跟踪训练1　以下四个命题中正确的是________． ①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示； ②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量； ③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线； ④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底． 答案　②③ 解析　因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故①不正确；②正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，故③正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故④不正确． 类型二　用基底表示向量 例2　如图所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，eq \o(AB,\s\up6(→))＝a，eq \o(AD,\s\up6(→))＝b，eq \o(AA′,\s\up6(→))＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量． (1)eq \o(AP,\s\up6(→))；(2)eq \o(AM,\s\up6(→))；(3)eq