步步高高中数学 步步高选修2-2 章末复习提升（三）.docxVIP

PAGE PAGE 1 1.复数的有关概念 (1)虚数单位i；(2)复数的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)；(3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数. 2.复数集 3.复数的四则运算 若两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R) (1)加法：z1＋z2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i； (2)减法：z1－z2＝(a1－a2)＋(b1－b2)i； (3)乘法：z1·z2＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i； (4)除法：eq \f(z1,z2)＝eq \f(?a1a2＋b1b2?＋?a2b1－a1b2?i, a\o\al(2,2)＋b\o\al(2,2)) ＝eq \f(a1a2＋b1b2,a\o\al(2,2)＋b\o\al(2,2))＋eq \f(a2b1－a1b2,a\o\al(2,2)＋b\o\al(2,2))i(z2≠0)； (5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况； (6)特殊复数的运算：in(n为正整数)的周期性运算；(1±i)2＝±2i；若ω＝－eq \f(1,2)±eq \f(\r(3),2)i，则ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0. 4.共轭复数与复数的模 (1)若z＝a＋bi，则eq \x\to(z)＝a－bi，z＋eq \x\to(z)为实数，z－eq \x\to(z)为纯虚数(b≠0). (2)复数z＝a＋bi的模|z|＝eq \r(a2＋b2)，且z·eq \x\to(z)＝|z|2＝a2＋b2. 5.复数的几何形式 (1)用点Z(a，b)表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)，用向量eq \o(OZ,\s\up6(→))表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)，Z称为z在复平面上的对应点，复数与复平面上的点一一对应(坐标原点对应实数0). (2) 任何一个复数z＝a＋bi一一对应着复平面内一个点Z(a，b)，也一一对应着一个从原点出发的向量eq \o(OZ,\s\up6(→)). 6.复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义 若复数z1、z2对应的向量eq \o(OZ1,\s\up6(→))、eq \o(OZ2,\s\up6(→))不共线，则复数z1＋z2是以eq \o(OZ1,\s\up6(→))、eq \o(OZ2,\s\up6(→))为两邻边的平行四边形的对角线eq \o(OZ,\s\up6(→))所对应的复数. (2)复数减法的几何意义 复数z1－z2是连接向量eq \o(OZ1,\s\up6(→))、eq \o(OZ2,\s\up6(→))的终点，并指向Z1的向量所对应的复数. 题型一　复数的基本概念 例1　满足z＋eq \f(5,z)是实数，且z＋3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由. 解　存在，理由如下： 设虚数z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)， 则z＋eq \f(5,z)＝x＋yi＋eq \f(5,x＋yi)＝x＋eq \f(5x,x2＋y2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(5y,x2＋y2)))i，z＋3＝(x＋3)＋yi. 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y－\f(5y,x2＋y2)＝0，,x＋3＝－y，))∵y≠0， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝5，,x＋y＝－3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－1.)) ∴存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足条件. 反思与感悟　复数z＝a＋bi(a，b∈R)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法和途径，在两个复数相等的充要条件中，注意当a，b，c，d∈R时，由a＋bi＝c＋di才能推出a＝c且b＝d，否则不成立. 跟踪训练1　设z∈C，满足z＋eq \f(1,z)∈R，z－eq \f(1,4)是纯虚数，求z. 解　设z＝x＋yi(x，y∈R)， 则z＋eq \f(1,z)＝(x＋yi)＋eq \f(1,x＋yi) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(x,x2＋y2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(y,x2＋y2)))i. ∵z＋eq \f(1,z)∈R，∴y－eq \f(y,x2＋y2)＝0， 解得y＝0或x2＋y2＝1. 又∵z－eq \f(1,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))＋yi是