步步高高中数学 步步高选修2-3 3.2.docx

PAGE PAGE 1 3．2　独立性检验的基本思想及其初步应用 [学习目标] 1．了解独立性检验的基本思想、方法及其简单应用； 2．理解判断两个分类变量是否有关系的常用方法、独立性检验中K2的含义及其实施步骤． [知识链接] 1．举例说明什么是分类变量？ 答　变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量，分类变量的取值一定是离散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别，如性别变量，只取男、女两个值，商品的等级变量只取一级、二级、三级等等． 2．什么是列联表？怎样从列联表判断两个分类变量有无关系？ 答　一般地，假设两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，列出两个变量的频数表，称为列联表(如下图) y1 y2 总计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d |ad－bc|越小，说明两个分类变量x，y之间的关系越弱； |ad－bc|越大，说明两个分类变量x，y之间的关系越强． [预习导引] 1．分类变量和列联表 (1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量． (2)列联表 ①定义：列出的两个分类变量的频数表称为列联表． ②2×2列联表 一般地，假设两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(也称为2×2列联表)为下表. y1 y2 总计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 2.等高条形图 (1)等高条形图与表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征． (2)观察等高条形图发现eq \f(a,a＋b)和eq \f(c,c＋d)相差很大，就判断两个分类变量之间有关系． 3．独立性检验 (1)定义：利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验． (2)K2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d. (3)独立性检验的具体做法 ①根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查表确定临界值k0. ②利用公式计算随机变量K2的观测值k. ③如果k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α，否则就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”. 要点一　有关“相关的检验” 例1　某校对学生课外活动进行调查，结果整理成下表： 用你所学过的知识进行分析，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“喜欢体育还是文娱与性别有关系”？ 体育 文娱 总计 男生 21 23 44 女生 6 29 35 总计 27 52 79 解　判断方法如下： 假设H0“喜欢体育还是喜欢文娱与性别没有关系”，若H0成立，则K2应该很小． ∵a＝21，b＝23，c＝6，d＝29，n＝79， ∴K2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）) ＝eq \f(79×（21×29－23×6）2,44×35×27×52)≈8.106. 且P(K2≥7.879)≈0.005即我们得到的K2的观测值k≈8.106超过7.879，这就意味着：“喜欢体育还是文娱与性别没有关系”这一结论成立的可能性小于0.005，即在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“喜欢体育还是喜欢文娱与性别有关”． 规律方法　(1)利用K2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)求出K2的观测值k的值．再利用临界值的大小来判断假设是否成立．(2)解题时应注意准确代数与计算，不可错用公式，准确进行比较与判断． 跟踪演练1　为研究学生的数学成绩与对学习数学的兴趣是否有关，对某年级学生作调查得到如下数据： 成绩优秀 成绩较差 总计 兴趣浓厚的 64 30 94 兴趣不浓厚的 22 73 95 总计 86 103 189 判断学生的数学成绩好坏与对学习数学的兴趣是否有关？ 解　由公式得K2的观测值 k＝eq \f(189×（64×73－22×30）2,86×103×95×94)≈38.459. ∵38.459＞10.828，∴有99.9%的把握说学生学习数学的兴趣与数学成绩是有关的． 要点二　有关“无关的检验” 例2　为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98人，文科对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人．分析学生选报文、理科与对外语的兴趣是否有关？ 解　列出2×2列联表 理 文 总计 有兴趣 138