步步高高中数学 必修 1 第二章 2.1.1（一）.docxVIP

PAGE PAGE 1 2.1.1　指数与指数幂的运算(一) 学习目标　1.理解n次方根、n次根式的概念.2.正确运用根式运算性质化简、求值.3.体会分类讨论思想、符号化思想的作用. 知识点一　n次方根、n次根式 思考　若x2＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？ 答案　这样的x有2个，它们都称为3的平方根，记作±eq \r(3). 梳理　一般地，有(1)a的n次方根定义 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且n∈N*. (2)a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 eq \r(n,a) a∈R n为偶数 ±eq \r(n,a) [0，＋∞) (3)根式 式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. 知识点二　根式的性质 思考　我们已经知道若x2＝3，则x＝±eq \r(3)，那么(eq \r(3))2等于什么？eq \r(32)呢？eq \r(?－3?2)呢？ 答案　把x＝eq \r(3)代入方程x2＝3，有(eq \r(3))2＝3； eq \r(32)＝eq \r(9)，eq \r(9)代表9的两个平方根中正的那一个，即3. eq \r(?－3?2)＝eq \r(9)＝3. 梳理　一般地，有(1)eq \r(n,0)＝0(n∈N*，且n1)； (2)(eq \r(n,a))n＝a(n∈N*，且n1)； (3)eq \r(n,an)＝a(n为大于1的奇数)； (4)eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a?a≥0?,－a?a0?))(n为大于1的偶数). 类型一　根式的意义 例1　求使等式eq \r(?a－3??a2－9?)＝(3－a)eq \r(a＋3)成立的实数a的取值范围. 解　eq \r(?a－3??a2－9?)＝eq \r(?a－3?2?a＋3?) ＝|a－3|eq \r(a＋3)， 要使|a－3|eq \r(a＋3)＝(3－a)eq \r(a＋3)成立， 需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－3≤0，,a＋3≥0，))解得a∈[－3,3]. 反思与感悟　对于eq \r(n,a)，当n为偶数时，要注意两点：(1)只有a≥0才有意义；(2)只要eq \r(n,a)有意义，eq \r(n,a)必不为负. 跟踪训练1　若eq \r(a2－2a＋1)＝a－1，求a的取值范围. 解　∵eq \r(a2－2a＋1)＝|a－1|＝a－1， ∴a－1≥0，∴a≥1. 类型二　利用根式的性质化简或求值 例2　化简： (1)eq \r(4,?3－π?4)； (2)eq \r(?a－b?2)(ab)； (3)(eq \r(a－1))2＋eq \r(?1－a?2)＋eq \r(3,?1－a?3). 解　(1)eq \r(4,?3－π?4)＝|3－π|＝π－3. (2)eq \r(?a－b?2)＝|a－b|＝a－b. (3)由题意知a－1≥0，即a≥1.原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1. 反思与感悟　n为奇数时eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(n,a)))n＝eq \r(n,an)＝a，a为任意实数均可； n为偶数时，a≥0，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(n,a)))n才有意义，且eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(n,a)))n＝a； 而a为任意实数eq \r(n,an)均有意义，且eq \r(n,an)＝|a|. 跟踪训练2　求下列各式的值： (1)eq \r(7,?－2?7)； (2)eq \r(4,?3a－3?4)(a≤1)； (3)eq \r(3,a3)＋eq \r(4,?1－a?4). 解　(1)eq \r(7,?－2?7)＝－2. (2)eq \r(4,?3a－3?4)＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a. (3)eq \r(3,a3)＋eq \r(4,?1－a?4)＝a＋|1－a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1，a≤1，,2a－1，a1.)) 类型三　有限制条件的根式的化简 例3　设－3x3，求eq \r(x2－2x＋1)－eq \r(x2＋6x＋9)的值. 解　原式＝eq \r(?x－1?2)－eq \r(?x＋3?2)＝|x－1|－|x＋3|， ∵－3x3， ∴当－3x1时，原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2； 当1≤x3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4. ∴原式＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2x－2，－3x1，,－4，1≤x3.))