步步高高中数学 必修 1 第三章 3.1.2.docxVIP

PAGE PAGE 1 3.1.2　用二分法求方程的近似解 学习目标　1.理解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法的实施步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想. 知识点一　二分法的原理 思考　我们已经知道f(x)＝ex－3x的零点在区间(1,2)内，如何缩小零点所在区间(1,2)的范围？ 答案　①取区间(1,2)的中点1.5. ②计算f(1.5)的值，用计算器算得f(1.5)≈－0.018.因为f(1.5)·f(2)0，所以零点在区间(1.5,2)内. 梳理　二分法的概念： 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解. 知识点二　用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤： (1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)0，给定精确度ε； (2)求区间(a，b)的中点c； (3)计算f(c)； ①若f(c)＝0，则c就是函数的零点； ②若f(a)·f(c)0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))； ③若f(c)·f(b)0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b)). (4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4). 以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断. 类型一　二分法的操作 例1　用二分法求函数f(x)＝x3－3的一个零点(精确度0.02). 解　由于f(0)＝－3＜0， f(1)＝－2＜0，f(2)＝5＞0， 故可取区间(1,2)作为计算的初始区间. 用二分法逐次计算，列表如下： 区间 中点的值 中点函数值 (或近似值) (1,2) 1.5 0.375 (1,1.5) 1.25 －1.047 (1.25,1.5) 1.375 －0.400 (1.375,1.5) 1.437 5 －0.030 (1.437 5,1.5) 1.468 75 0.168 (1.437 5,1.468 75) 1.453 125 0.068 (1.437 5,1.453 125) 因为|1.453 125－1.437 5|＝0.015 625＜0.02， 所以函数f(x)＝x3－3的零点的近似值可取为1.437 5. 引申探究 如何求eq \r(3,2)的近似值(精确度0.01)? 解　设x＝eq \r(3,2)，则x3＝2，即x3－2＝0， 令f(x)＝x3－2，则函数f(x)的零点的近似值就是eq \r(3,2)的近似值，以下用二分法求其零点. 由f(1)＝－10，f(2)＝60，故可以取区间(1,2)为计算的初始区间. 用二分法逐次计算，列表如下： 区间 中点的值 中点函数值 (1,2) 1.5 1.375 (1,1.5) 1.25 －0.046 9 (1.25,1.5) 1.375 0.599 6 (1.25,1.375) 1.312 5 0.261 0 (1.25,1.312 5) 1.281 25 0.103 3 (1.25,1.281 25) 1.265 625 0.027 3 (1.25,1.265 625) 1.257 812 5 －0.010 0 由于1.265 625－1.257 812 5＝0.007 812 50.01，所以1.265 625是函数的零点的近似值，即eq \r(3,2)的近似值是1.265 625. 反思与感悟　用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算. 跟踪训练1　借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解(精确度0.1). 解　原方程即2x＋3x－7＝0，令f(x)＝2x＋3x－7， 用计算器或计算机作出函数f(x)＝2x＋3x－7的对应值表与图象如下： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … f(x)＝2x＋3x－7 －6 －2 3 10 21 40 75 142 273 … 观察图或表可知f(1)·f(2)＜0，说明这个函数在区间(1,2)内有零点x0. 取区间(1,2)的中点x1＝1.5，用计算器算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)＜0， 所以x0∈(1,1.5). 再取区间(1,1.5)的中点x2＝1.25，用计算器算得f(1.25)≈－0.87. 因为f(1.25)·f(1.5)＜0，所以x0∈(1.25,1.5). 同理可得，x0∈(1.375，1.