步步高高中数学 必修 1 第一章 1.1.3 第2课时.docxVIP

PAGE PAGE 1 第2课时　补集及综合应用 学习目标　1.理解全集、补集的概念.2.准确翻译和使用补集符号和Venn图.3.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题. 知识点一　全集 思考　老和尚问小和尚：“如果你前进是死，后退是亡，那你怎么办？”小和尚说：“我从旁边绕过去.”在这一故事中，老和尚设定的运动方向共有哪些？小和尚设定的运动方向共有哪些？ 答案　老和尚设定的运动方向只有2个：前进，后退.小和尚偷换了前提：运动方向可以是四面八方任意方向. 梳理　 定义 如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集 记法 全集通常记作U 知识点二　补集 思考　实数集中，除掉大于1的数，剩下哪些数？ 答案　剩下不大于1的数，用集合表示为{x∈R|x≤1}. 梳理　 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作?UA 符号语言 ?UA＝{x|x∈U，且x?A} 图形语言 类型一　求补集 例1　(1)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，则?UA等于(　　) A.{x|0x2} B.{x|0≤x2} C.{x|0x≤2} D.{x|0≤x≤2} 答案　C 解析　∵U＝{x∈R|－2≤x≤2}， A＝{x∈R|－2≤x≤0}， ∴?UA＝{x|0x≤2}，故选C. (2)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3，4,5,6}，求?UA，?UB. 解　根据题意可知，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}， 所以?UA＝{4,5,6,7,8}，?UB＝{1,2,7,8}. (3)设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，求A∩B，?U(A∪B). 解　根据三角形的分类可知A∩B＝?，A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}， ?U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}. 反思与感悟　求集合的补集，需关注两处：一是认准全集的范围；二是利用数形结合求其补集，常借助Venn图、数轴、坐标系来求解. 跟踪训练1　(1)设集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则?UA＝________. 答案　{3,4,5} (2)已知集合U＝R，A＝{x|x2－x－2≥0}，则?UA＝________. 答案　{x|－1x2} (3)已知全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合A＝{(x，y)|xy0}，则?UA＝________. 答案　{(x，y)|xy≤0} 类型二　补集性质的应用 命题角度1　补集性质在集合运算中的应用 例2　已知A＝{0,2,4,6}，?UA＝{－1，－3,1,3}，?UB＝{－1,0,2}，用列举法写出集合B. 解　∵A＝{0,2,4,6}，?UA＝{－1，－3,1,3}， ∴U＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}. 而?UB＝{－1,0,2}， ∴B＝?U(?UB)＝{－3,1,3,4,6}. 反思与感悟　从Venn图的角度讲，A与?UA就是圈内和圈外的问题，由于(?UA)∩A＝?，(?UA)∪A＝U，所以可以借助圈内推知圈外，也可以反推. 跟踪训练2　如图所示的Venn图中，A、B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合.若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，则A*B＝________________. 答案　{x|0≤x≤1或x＞2} 解析　A∩B＝{x|1x≤2}，A∪B＝{x|x≥0}， 由图可得A*B＝?(A∪B)(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x＞2}. 命题角度2　补集性质在解题中的应用) 例3　关于x的方程：x2＋ax＋1＝0，① x2＋2x－a＝0，② x2＋2ax＋2＝0，③ 若三个方程至少有一个有解，求实数a的取值范围. 解　假设三个方程均无实根，则有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Δ1＝a2－40，,Δ2＝4＋4a0，,Δ3＝4a2－80，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2a2，,a－1，,－\r(2)a\r(2).)) 解得－eq \r(2)a－1， ∴当a≤－eq \r(2)或a≥－1时，三个方程至少有一个方程有实根， 即a的取值范围为{a|a≤－eq \r(2)或a≥－1}. 反思与感悟　运用补集思想求参数取值范围的步骤：(1)把已知的条件否定，考虑反面问题；(2)求解反面问题对应的参数的取值范围；(3)求反面问题对应的参数的取值集合的补集. 跟踪训练3　若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有一个元素，求实数a的取值范围. 解　假设集合A中含有2个元素， 即ax2＋3x＋2＝0有两个不相等的实数根， 则eq \b\