步步高高中数学 必修 1 第一章 1.2.2 第1课时.docxVIP

PAGE PAGE 1 1.2.2　函数的表示法 第1课时　函数的表示法 学习目标　1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.尝试作图并从图象上获取有用的信息. 知识点一　解析法 思考　一次函数如何表示？ 答案　y＝kx＋b(k≠0). 梳理　一般地，解析法是指：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 知识点二　图象法 思考　要知道林黛玉长什么样，你觉得一个字的描述和一张二寸照片哪个更直观？ 答案　一图胜千言. 梳理　一般地，图象法是指：用图象表示两个变量之间的对应关系；这样可以直观形象地表示两变量间的变化趋势. 知识点三　列表法 思考　在街头随机找100人，请他们依次随意地写一个数字.设找的人序号为x，x＝1,2,3，…，100.第x个人写下的数字为y，则x与y之间是不是函数关系？能否用解析式表示？ 答案　对于任一个x的值，都有一个他写的数字与之对应，故x，y之间是函数关系，但因为人是随机找的，数字是随意写的，故难以用解析式表示.这时可以制作一个表格来表示x的值与y的值之间的对应关系. 梳理　一般地，列表法是指：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 函数三种表示法的优缺点： 类型一　解析式的求法 例1　根据下列条件，求f(x)的解析式. (1)f(f(x))＝2x－1，其中f(x)为一次函数； 解　由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)， ∵f(f(x))＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b ＝a2x＋ab＋b＝2x－1， 由恒等式性质，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝2，,ab＋b＝－1，)) ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\r(2)，,b＝1－\r(2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－\r(2)，,b＝1＋\r(2).)) ∴所求函数解析式为 f(x)＝eq \r(2)x＋1－eq \r(2)或f(x)＝－eq \r(2)x＋1＋eq \r(2). (2)f(x＋eq \f(1,x))＝x2＋eq \f(1,x2)； 解　∵f(x＋eq \f(1,x))＝x2＋eq \f(1,x2)＝(x＋eq \f(1,x))2－2， ∴f(x)＝x2－2. 又x≠0，∴x＋eq \f(1,x)≥2或x＋eq \f(1,x)≤－2， ∴f(x)中的x与f(x＋eq \f(1,x))中的x＋eq \f(1,x)取值范围相同， ∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞). (3)f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x. 解　∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x， 将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x， ∴联立以上两式消去f(－x)，得3f(x)＝x2－6x， ∴f(x)＝eq \f(1,3)x2－2x. 反思与感悟　(1)如果已知函数类型，可以用待定系数法. (2)如果已知f(g(x))的表达式，想求f(x)的解析式，可以设 t＝g(x)，然后把f(g(x))中每一个x都换成t的表达式. (3)如果条件是一个关于f(x)、f(－x)的方程，我们可以用x的任意性进行赋值.如把每一个x换成－x，其目的是再得到一个关于f(x)、f(－x)的方程，然后消元消去f(－x). 跟踪训练1　根据下列条件，求f(x)的解析式. (1)f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9； 解　由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)， ∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9， ∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9， 即2ax＋3a＋2b＝2x＋9， 由恒等式性质，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＝2，,3a＋2b＝9，)) ∴a＝1，b＝3. ∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3. (2)f(x＋1)＝x2＋4x＋1； 解　设x＋1＝t，则x＝t－1，f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1， 即f(t)＝t2＋2t－2. ∴所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2. (3)2f(eq \f(1,x))＋f(x)＝x(x≠0). 解　∵f(x)＋2f(eq \f(1,x))＝x，将原式中的x与eq \f(1,x)互换， 得f(eq \f(1,x))＋2f(x)＝eq \f(1,x). 于是得关于f(x)的方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f?x?＋2f?\f(1,x)?＝x，,f?\f(1,x)?＋2f?x?＝\f(1,x)，)) 解得f(x)＝eq \f(2,3x)－eq \f(x,3)(x≠0). 类型二　图象的画法及应用 命题角度1　画函数图象 例2　试画出函数y＝eq \r(1－x2)的图象.