步步高高中数学 必修 5 第二章 2.1（一）.docxVIP

PAGE PAGE 1 学习目标　1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式． 知识点一　数列及其有关概念 思考1　数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？ 答案　 不是．顺序不一样． 思考2　数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？ 答案　 数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性． 梳理　(1)按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项． (2) 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 知识点二　通项公式 思考1　数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？ 答案　100.由前四项与它们的序号相同，猜第n项an＝n，从而第100项应为100. 梳理　如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 思考2　数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？ 答案　如图，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值． 不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集． 知识点三　数列的分类 思考　对数列进行分类，可以用什么样的分类标准？ 答案　(1)可以按项数分类；(2)可以按项的大小变化分类． 梳理　(1)按项数分类，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列． (2)按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列． 类型一　由数列的前几项写出数列的一个通项公式 例1　写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)1，－eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，－eq \f(1,4)； (2)eq \f(1,2)，2，eq \f(9,2)，8，eq \f(25,2)； (3)9,99,999,9 999；(4)2,0,2,0. 解　(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负， 所以它的一个通项公式为an＝eq \f(?－1?n＋1,n)，n∈N*. (2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：eq \f(1,2)，eq \f(4,2)，eq \f(9,2)，eq \f(16,2)，eq \f(25,2)，…， 所以它的一个通项公式为an＝eq \f(n2,2)，n∈N*. (3)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N*. (4)这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，所以，它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1＋1，n∈N*. 反思与感悟　要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变化的规律，继而将an表示为n的函数关系． 跟踪训练1　写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)－eq \f(1,1×2)，eq \f(1,2×3)，－eq \f(1,3×4)，eq \f(1,4×5)； (2)eq \f(22－1,2)，eq \f(32－1,3)，eq \f(42－1,4)，eq \f(52－1,5)； (3)7,77,777,7 777. 解　(1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝eq \f(?－1?n,n×?n＋1?)，n∈N*. (2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，所以它的一个通项公式为an＝eq \f(?n＋1?2－1,n＋1)，n∈N*. (3)这个数列的前4项可以变为eq \f(7,9)×9，eq \f(7,9)×99，eq \f(7,9)×999，eq \f(7,9)×9 999，即eq \f(7,9)×(10－1)，eq \f(7,9)×(100－1)，eq \f(7,9)×(1 000