步步高高中数学 必修 5 第二章 2.2（二）.docxVIP

PAGE PAGE 1 学习目标　1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题． 知识点一　等差数列通项公式的推广 思考1　已知等差数列{an}的首项a1和公差d能表示出通项an＝a1＋(n－1)d，如果已知第m项am和公差d，又如何表示通项an? 答案　设等差数列的首项为a1，则am＝a1＋(m－1)d， 变形得a1＝am－(m－1)d， 则an＝a1＋(n－1)d＝am－(m－1)d＋(n－1)d ＝am＋(n－m)d. 思考2　由思考1可得d＝eq \f(an－a1,n－1)，d＝eq \f(an－am,n－m)，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？ 答案　等差数列通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，其图象为一条直线上孤立的一系列点，(1，a1)，(n，an)，(m，am)都是这条直线上的点．d为直线的斜率，故两点(1，a1)，(n，an)连线的斜率d＝eq \f(an－a1,n－1).当两点为(n，an)，(m，am)时，有d＝eq \f(an－am,n－m). 梳理　等差数列{an}中，若公差为d，则an＝am＋(n－m)d，当n≠m时，d＝eq \f(an－am,n－m). 知识点二　等差数列的性质 思考　还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？推广到一般的等差数列，你有什么猜想？ 答案　利用1＋100＝2＋99＝….在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…. 梳理　在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap. 知识点三　由等差数列衍生的新数列 思考　若{an}是公差为d的等差数列，那么{an＋an＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？ 答案　∵(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2) ＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2) ＝d＋d＝2d. ∴{an＋an＋2}是公差为2d的等差数列． 梳理　若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) 类型一　等差数列推广通项公式的应用 例1　在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式． 解　因为a8＝a2＋(8－2)d，所以17＝5＋6d，解得d＝2. 又因为an＝a2＋(n－2)d，所以an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1. 反思与感悟　灵活利用等差数列的性质，可以减少运算． 跟踪训练1　数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8等于(　　) A．0 B．3 C．8 D．11 答案　B 解析　∵{bn}为等差数列，设其公差为d， 则d＝eq \f(b10－b3,10－3)＝eq \f(12－?－2?,7)＝2， ∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8. ∴a8＝(a8－a7)＋(a7－a6)＋(a6－a5)＋(a5－a4)＋(a4－a3)＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1 ＝b7＋b6＋…＋b1＋a1 ＝(b7＋b1)＋(b6＋b2)＋(b5＋b3)＋b4＋a1 ＝7b4＋a1＝7×0＋3＝3. 类型二　等差数列与一次函数的关系 例2　已知数列{an}的通项公式an＝pn＋q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？ 解　取数列{an}中任意相邻两项an和an－1(n1)， 求差得an－an－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q] ＝pn＋q－(pn－p＋q)＝p. 它是一个与n无关的常数，所以{an}是等差数列． 由于an＝pn＋q＝q＋p＋(n－1)p， 所以首项a1＝p＋q，公差d＝p. 反思与感悟　本题可以按照解析几何中的直线问题求解，但是，如果换个角度，利用构造等差数列模型来解决，更能体现出等差数列这一函数特征，这种解答方式的转变，同学们要在学习中体会，在体会中升华． 跟踪训练2　某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？ 解　由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则an－an－1＝－20(n≥2，n∈N*)，每年获利构成等差数列{an}，且首项a1＝200，