步步高高中数学 步步高选修2-2 第一章1.5.docxVIP

PAGE PAGE 1 [学习目标]　1.了解定积分的概念.2.理解定积分的几何意义.3.通过求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程，了解“以直代曲”“以不变代变”的思想.4.能用定积分的定义求简单的定积分. 知识点一　曲边梯形的面积和汽车行驶的路程 1.曲边梯形的面积 (1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示). (2)求曲边梯形面积的方法 把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示). 　 (3)求曲边梯形面积的步骤：①分割，②近似代替，③求和，④取极限. 2.求变速直线运动的(位移)路程 如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v(t)，那么也可以采用分割，近似代替，求和，取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s. 思考　(1)如何计算下列两图形的面积？ 　 (2)求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？ 答案　(1)①直接利用梯形面积公式求解.②转化为三角形和梯形求解. (2)为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小. 知识点二　定积分的概念 如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0x1…xi－1xi…xn＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)作和式eq \i\su(i＝1,n,f)(ξi)Δx＝eq \i\su(i＝1,n, )eq \f(b－a,n)f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作eq \i\in(a,b,)f(x)dx，即eq \i\in(a,b,)f(x)dx＝eq \o(lim,\s\do4(n→∞))eq \i\su(i＝1,n, )eq \f(b－a,n)f(ξi).其中a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式. 思考　(1)如何理解定积分？ (2)用定义求定积分eq \i\in(a,b,)f(x)dx的一般步骤是什么？ 答案　(1)定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即eq \i\in(a,b,)f(x)dx＝eq \i\in(a,b,)f(u)du＝eq \i\in(a,b,)f(t)dt＝…(称为积分形式的不变性)，另外，定积分eq \i\in(a,b,)f(x)dx的值与积分区间[a，b]息息相关，不同的积分区间，定积分的积分限不同，所得的值也不同，例如eq \i\in(0,1,)(x2＋1)dx与eq \i\in(0,3,)(x2＋1)dx的值就不同. (2)①分割：将区间[a，b]n等分，记第i个小区间为[xi－1，xi]，区间长度Δx＝xi－xi－1；②近似代替、求和：取点ξi∈[xi－1，xi]，eq \i\in(a,b,)f(x)dx≈eq \i\su(i＝1,n,f)(ξi)Δx；③取极限：eq \i\in(a,b,)f(x)dx＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0))eq \i\su(i＝1,n,f)(ξi)Δx. 知识点三　定积分的几何意义与性质 1.定积分的几何意义 由直线x＝a，x＝b(ab)，x轴及一条曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积设为S，则有： (1)在区间[a，b]上，若f(x)≥0，则S＝eq \i\in(a,b,)f(x)dx，如图(1)所示，即eq \i\in(a,b,)f(x)dx＝S. (2)在区间[a，b]上，若f(x)≤0，则S＝－eq \i\in(a,b,)f(x)dx，如图(2)所示，即eq \i\in(a,b,)f(x)dx＝－S. (3)若在区间[a，c]上，f(x)≥0，在区间[c，b]上，f(x)≤0，则S＝eq \i\in(a,c,)f(x)dx－eq \i\in(c,b,)f(x)dx，如图(3)所示， 即eq \i\in(a,b,)f(x)dx＝SA－SB(SA，SB表示所在区域的面积). 2.定积分的性质 (1)eq \i\in(a,b,)kf(x)dx＝keq \i\in(a,b,)f(x)dx(k为常数)； (2)eq \i\in(a,b,)[f1(x)±f2(x)]dx＝eq \i\in(a,b,)f1(x)dx±eq \