高考数学培优专题库教师版 第37讲直线与圆锥曲线.doc

第三十七讲 直线与圆锥曲线 A组 一、选择题 1. 抛物线的焦点为，倾斜角等于的直线过交该抛物线于两点，则=（ ） A．2 B.4 C.8 【解析】由题可知焦点?，直线的方程,设点?，? 联立方程组 可得?，? ,?. 2. 斜率为1的直线与椭圆相交于、两点，则的最大值为 (　　) A．2 B. C. D. 解析：设椭圆交直线于两点，由消去，得，则有 ， 当时， 答案：C 3. 直线与抛物线有且只有一个公共点，则的值为 (　　) A．1 B．1或3 C．0 D．1或0 解析：由得，若，则，若，则，即解得，因此直线与抛物线有且只有一个公共点，则或答案：D 4.（2017全国1卷理）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】A 【解析】设直线方程为 取方程 得 ∴ 同理直线与抛物线的交点满足 由抛物线定义可知 当且仅当（或）时，取得等号. 5.已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交于、两点．若的中点坐标为，则的方程为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选D　本题考查直线与椭圆的位置关系、斜率公式、焦点弦和中点弦问题，意在考查考生通过解方程组求解弦的中点的能力。用两点式得到直线的方程，代入椭圆方程，消去y，由根与系数的关系得到之间的关系，并由之间的关系确定椭圆方程。因直线过点和点，所以直线的方程为，代入椭圆方程消去，得，所以的中点的横坐标为，即 又，所以，选择D. 二、填空题 6. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，那么双曲线的离心率为________；渐近线方程为____________． 解析：双曲线的渐近线方程是 ∵双曲线的一条渐近线与直线垂直，，∴双曲线的离心率为 ，渐近线方程为 7. 已知抛物线与直线相交于、两点，抛物线的焦点为，那么________. 解析： 由，消去，得(*)，方程(*)的两根为、两点的横坐标，故，因为抛物线的焦点为，所以 答案：7 三、解答题 8.设椭圆: 过点，离心率为． （1）求的方程； （2）求过点且斜率为的直线被所截线段的中点坐标和所截线段的长度。 【解】（1）将点（0，4）代入的方程得, ?∴b=4, 又 得，即， ?∴ ?∴的方程为 （2）过点且斜率为的直线方程为， 设直线与Ｃ的交点为Ａ，Ｂ，将直线方程代入Ｃ的方程，得，即，解得，， AB的中点坐标，， 即所截线段的中点坐标为． 所以线段AB的长度是 ，即所截线段的长度是． 9. （2017年高考北京卷理）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点. （Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A为线段BM的中点. 【解析】（Ⅰ）由抛物线C：过点P（1，1），得. 所以抛物线C的方程为. 抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为. （Ⅱ）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为，. 由，得. 则，. 因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为. 直线ON的方程为，点B的坐标为. 因为 ， 所以. 故A为线段BM的中点. 10．如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于两点，其中点在第一象限，过作轴的垂线，垂足为。连结，并延长交椭圆于点。设直线的斜率为。 （1）若直线平分线段,求的值； (2) 当时，求点到直线的距离； （3）对任意的，求证：。 解：由题意知，，故,所以线段MN的中点的坐标为，由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，所以。 （2）直线PA的方程为，代入椭圆方程得，解得，因此,于是,直线AC的斜率为，所以直线AB的方程为，因此。 （3）解法一：将直线PA的方程为代入，解得，记，则，于是故直线AB的斜率为，直线AB的方程为，代入椭圆方程得，解得，或，因此 ，于是直线PB的斜率为， 因此，所以。 解法二：设，则，.设直线PB，AB的斜率分别为。因为C在直线AB上，所以 ，从而 ，因此，所以。 10. 已知椭圆的两焦点为，且过点 （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点的直线交椭圆于两点,以线段为直径的圆恰好过原点，,求出直线的方程; 解： (Ⅰ)由题意可得 . 椭圆的标准方程是 (Ⅱ)由题意