步步高高中数学 必修 1 第二章 2.3.docxVIP

PAGE PAGE 1 学习目标　1.理解幂函数的概念.2.掌握y＝xα(α＝－1，eq \f(1,2)，1,2,3)的图象与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题. 知识点一　幂函数的概念 思考　y＝eq \f(1,x)，y＝x，y＝x2三个函数有什么共同特征？ 答案　底数为x，指数为常数. 梳理　一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 知识点二　五个幂函数的图象与性质 1.在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图. 2.五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞) 上增， 在(－∞，0] 上减 增 增 在(0，＋∞) 上减， 在(－∞，0) 上减 知识点三　一般幂函数的图象特征 思考　类比y＝x3的图象和性质，研究y＝x5的图象与性质. 答案　y＝x3与y＝x5的定义域、值域、单调性、奇偶性完全相同.只不过当0x1时，x5＝x3·x2x3，当x1时，x5＝x3·x2x3，结合两函数性质，可得图象如下： 梳理　一般幂函数特征：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； (2)α0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数.特别地，当α1时，幂函数的图象下凸；当0α1时，幂函数的图象上凸； (3)α0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数； (4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称； (5)在第一象限，作直线x＝a(a1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列. 类型一　幂函数的概念 例1　已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是幂函数，求m，n的值. 解　由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2＋2m－2＝1，,2n－3＝0，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝－3，,n＝\f(3,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝\f(3,2).)) 所以m＝－3或1，n＝eq \f(3,2). 反思与感悟　幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x，指数为常数这三个条件，才是幂函数.如：y＝3x2，y＝(2x)3，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))4都不是幂函数. 跟踪训练1　在函数y＝eq \f(1,x2)，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　B 解析　因为y＝eq \f(1,x2)＝x－2，所以是幂函数； y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数； y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常数函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1), 所以常数函数y＝1不是幂函数. 类型二　幂函数的图象及应用 例2　若点(eq \r(2)，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，eq \f(1,4))在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)g(x). 解　设f(x)＝xα，因为点(eq \r(2)，2)在幂函数f(x)的图象上，所以，将点(eq \r(2)，2)代入f(x)＝xα中，得2＝(eq \r(2))α，解得α＝2，则f(x)＝x2.同理可求得g(x)＝x－2. 在同一坐标系里作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得： (1)当x1或x－1时，f(x)g(x)； (2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)； (3)当－1x1且x≠0时，f(x)g(x). 引申探究 若对于例2中的f(x)，g(x)，定义h(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f?x?，f?x?≤g?x?，,g?x?，f?x?g?x?，))试画出h(x)的图象. 解　h(x)的图象如图所示： 反思与感悟　注意本题中对f(x)＞g(x)，f(x)＝g(x)的几何解释.这种几何解释帮助我们从图形角度解读不等式方程，是以后常用的方法. 跟踪训练2　幂函数y＝xα(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图).设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段A